Question

Докажите ,что длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего её концы?

Answer 1

Объяснение:

Теорема. Длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы. Доказательство. Пусть А1А2А3 … An — данная ломаная. Заменим звенья А1А2 и А2А3 одним звеном А1А3. Получим ломаную А1А3А4 … An. Так как по неравенству треугольника А1А3 < А1А2 + А2А3, то ломаная A1A3A4 … Anимеет длину, не большую, чем исходная ломаная. Заменяя таким же образом звенья А1А3 и А3А4 звеном А1А4, переходим к ломаной А1А4А5 … Аn, которая также имеет длину, не большую, чем исходная ломаная. И т. д. В итоге мы придем к отрезку A1An соединяющему концы ломаной. Отсюда следует, что исходная ломаная имела длину, не меньшую длины отрезка A1An. Теорема доказана.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения рассмотрим произвольную ломаную, состоящую из конечного числа отрезков, которая соединяет две точки: начальную точку A и конечную точку B. Пусть длина этой ломаной равна L, а длина отрезка, соединяющего точки A и B, равна d.

1. Рассмотрим каждый отрезок ломаной по отдельности. Обозначим длину i-го отрезка как Li, где i = 1, 2, ..., n (где n - количество отрезков в ломаной).

2. По неравенству треугольника, длина любого отрезка должна быть больше или равна разности между длинами отрезка AB и длиной остальной части ломаной:

   Li ≥ d - (L - Li)

3. Преобразуем это неравенство:

   Li ≥ d - L + Li

4. Теперь выразим Li:

   Li - Li ≥ d - L

5. Это упрощается до:

   0 ≥ d - L

6. Прибавим L к обеим сторонам:

   L ≥ d

Таким образом, мы доказали, что длина ломаной (L) не меньше длины отрезка, соединяющего её концы (d). Это утверждение верно для любой ломаной, состоящей из конечного числа отрезков.