Question

СРОЧНО!!! Длина внешней касательной двух окружностей в пять раз больше длины их внутренней касательной. Найдите расстояние между центрами этих окружностей, если их радиусы равны r и R.

Answer 1

Ответ: √(R²+r²-13Rr/6)

Объяснение:  Обозначим центры окружностей О₁ и О₂.

Для удобства записи решения примем расстояние О₁О₂=х , СD=a. Тогда АВ=5CD=5a

Проведем из центров к точкам касания радиусы и проведем параллельно АВ прямую до пересечения с О₂В в точке К.

ABKO₁ - прямоугольник.=> KB=r

О₂К=R-r

О₁К=АВ=5а

Из О₂ к продолжению  О₁С проведем перпендикуляр О₂М.

Четырехугольник СМО₂D- прямоугольник.

МО₂=СD=а

СМ=О₂D=R

MO₁=R+r

Из ∆ О₁MО₂ по т.Пифагора

а²=x²-(R+r)²

Из ∆ О₁КО₂ по т.Пифагора

(5а)²=х²-(R-r)²  

Так как ОК=5а, подставим найденное выше значение а² во второе уравнение.

25a² =25•[x²-(R+r)²] ,

Приравняем найденные значения 25a².

25•[x²-(R+r)²]=х²-(R-r)²

После некоторых преобразований получим

24х²=24R²+24r²+52Rr, откуда

х=√(R²+r²-13Rr/6)= искомое расстояние между центрами окружностей

Answer 2

Давайте рассмотрим данную ситуацию. Пусть $O_1$ и $O_2$ - центры двух окружностей радиусами $r$ и $R$ соответственно, и $T_1$ и $T_2$ - точки касания внешних касательных с окружностями, а $T_1'$ и $T_2'$ - точки касания внутренних касательных. Тогда мы можем представить следующие уравнения:

1. Уравнение для внешней касательной: $T_1T_2 = 5T_1'T_2'$

2. Уравнение для внутренней касательной: $T_1'T_2' = 2\sqrt{rR}$

Также, известно, что $T_1T_2 = T_1'O_1 + O_1O_2 + O_2T_2$ и $T_1'T_2' = O_1O_2 - r - R$.

С учетом этих уравнений, мы можем выразить расстояние между центрами $O_1O_2$ через радиусы $r$ и $R$. Подставим значения в уравнение для внешней касательной:

$5(2\sqrt{rR}) = O_1O_2 - r - R$

Разложим $O_1O_2$ на отдельные составляющие: $O_1O_2 = (O_1T_1 + T_1T_2 + T_2O_2)$

Подставим это в уравнение:

$10\sqrt{rR} = (r + R) + 5\sqrt{rR} - r - R$

Упростим уравнение:

$5\sqrt{rR} = r + R$

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными ($r$ и $R$):

$5\sqrt{rR} = r + R$ (1) $rR = 2\sqrt{rR}$ (2)

Из уравнения (2) можем выразить, например, $r$ через $R$:

$r = \frac{2\sqrt{R}}{R}$

Подставляем это в уравнение (1):

$5\sqrt{\frac{2\sqrt{R}}{R}R} = \frac{2\sqrt{R}}{R} + R$