Question

Хорда CD завдовжки 13 см перетинає хорду АВ у точці N, BN=3 см, AN=12 см, CN менше ND. Знайти довжину ND

Answer 1

Ответ:

9 см

Объяснение:

Задание

Хорда CD длиной 13 см пересекает хорду АВ в точке N, BN=3 см, AN=12 см, CN меньше ND. Найти длину ND

Решение

Теорема: хорды точкой пересечения делятся на отрезки, произведения которых равны.  

BN · AN = 3 · 12 = 36

Пусть CN = х₁ , ND = х₂.

Составим систему уравнений и найдём ND:

х₁ + х₂ = 13   (1)

х₁ · х₂ = 36   (2)

Из уравнения (1) выразим х₂ и подставим в уравнение (2):

х₂ = 13 - х₁

х₁ · (13 - х₁) = 36

13х₁ - х₁² - 36 = 0

х₁² - 13х₁ + 36 = 0

х₁ = 6,5 - √(6,5²-36) = 6,5 - 2,5 = 4

СN = 4 см

х₂ = 6,5 + √(6,5²-36) = 6,5 + 2,5 = 9

ND = 9 см

Ответ: ND = 9 см

Answer 2

Для знаходження довжини ND, нам потрібно використовувати властивості перетину хорд у колі.

Ми маємо дві хорди: CD і AB, які перетинаються в точці N. Ми знаємо довжини AN, BN і CN:

AN = 12 см BN = 3 см

За властивістю перетину хорд, добуток довжин AN і BN дорівнює добутку довжин CN і DN:

AN * BN = CN * DN

Підставляючи відомі значення, ми отримуємо:

12 см * 3 см = CN * ND

36 см = CN * ND

Ми знаємо, що CN менше ND, тобто CN < ND. Давайте припустимо, що CN = x см. Тоді ми можемо записати:

36 см = x см * ND

Тепер ми можемо знайти значення ND:

ND = 36 см / x см

Ми знаємо, що CN < ND, тому x має бути більшим за 3 см (значення BN), але меншим за 12 см (значення AN). Отже, 3 см < x см < 12 см.

Тепер ми маємо діапазон можливих значень для x. Щоб знайти довжину ND, нам потрібно виразити її через x і обчислити:

ND = 36 см / x см

Для кожного значення x з діапазону 3 см < x см < 12 см, обчисліть відповідне значення ND.