Question

Геометрия дан куб ABCDA1B1C1D1. докажите, что а) BD перпендикулярно плоскости А1АС б) BD перпендикулярно АС1

Answer 1

Ответ:

Решение:

Используя известные свойства куба,

можем заключить, что

По теореме п. 23 плоскости ABC1D1 и DA1B1C взаимно перпендикулярны.

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства данных утверждений о кубе ABCDA1B1C1D1, давайте рассмотрим их по очереди:

а) BD перпендикулярно плоскости A1AC:

Для того чтобы доказать, что отрезок BD перпендикулярен плоскости A1AC, нам нужно убедиться, что вектор BD перпендикулярен к нормали к плоскости A1AC.

Плоскость A1AC определяется векторами A1A и A1C. Плоскость задается нормалью N, которая является векторным произведением этих двух векторов:

N = A1A × A1C

Если вектор BD ортогонален этой нормали N, то BD будет перпендикулярен плоскости A1AC. Для этого мы можем использовать скалярное произведение векторов BD и N.

Если BD перпендикулярен плоскости A1AC, то их скалярное произведение будет равно нулю:

BD · N = 0

Таким образом, чтобы доказать перпендикулярность BD к плоскости A1AC, вы можете вычислить векторное произведение A1A × A1C и проверить, равно ли скалярное произведение BD · N нулю.

б) BD перпендикулярно AC1:

Аналогично, чтобы доказать, что BD перпендикулярен AC1, нам нужно убедиться, что вектор BD ортогонален вектору AC1. То есть:

BD · AC1 = 0

Для этого вы можете вычислить вектор AC1 (разница между векторами A и C1) и проверить, равно ли скалярное произведение BD · AC1 нулю. Если да, то BD перпендикулярен AC1.