Question

Образующая конуса равна 6 и наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, описанной около конуса.

Answer 1

Ответ:

$\boxed{S_{b} = \dfrac{400\sqrt{3} }{3}}$ см²

Объяснение:

Дано: KABCD - правильная описанная около конуса четырехугольная пирамида, KT = 6, ∠(KT,ABC) = 30°, O - центр основания конуса

Найти: $S_{b} \ - \ ?$

Решение:

По определению пирамиду называют описанной около конуса, если её основание описано около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса, а конус при этом называют вписанным в пирамиду.

По определению правильной пирамиды, в её основании лежит правильный четырехугольник, а так как по условию пирамида KABCD - четырехугольная, то ABCD - квадрат.

Проведем высоту пирамиды из точки K в точку O. По следствию из определения описанной пирамиды около конуса эта высота совпадает с высотой конуса, то есть OK - высота пирамиды и конуса.

По свойствам конуса вписанного в пирамиду точка пересечения образующей конуса и ребра основания пирамиды является точкой касания основания конуса к пирамиде, то есть отрезок OT - радиус окружности вписанной в квадрат ABCD.

По определению прямая перпендикулярная к плоскости перпендикулярна к любой прямой лежащей в этой плоскости, то так как OK ⊥ ABC по построению и OT ⊂ ABC по построению, то

OK ⊥ TO, следовательно треугольник ΔKOT - прямоугольный.

Углом между прямой и плоскостью называют угол между прямой и её проекцией на эту плоскость, тогда из прямоугольного треугольника ΔKOT, следует, что OT - проекция KT на плоскость ABC, тогда угол ∠(KT,ABC) = ∠KTO = 30°.

По свойствам вписанного конуса его образующая является высотой грани пирамиды, тогда KT ⊥ BC.

Так как KT ⊥ BC, OT ⊥ BC (как радиус к касательной), то угол ∠KTO - линейный угол двугранного угла между плоскостями KBC и ABC.

По свойствам правильной пирамиды все её двугранные углы равны.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔKOT.

По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:

$\cos \angle KTO = \dfrac{OT}{KT} \Longrightarrow OT = KT \cdot \cos \angle KTO = 6 \cdot \cos 30^{\circ} = 6 \cdot \dfrac{\sqrt{3} }{2} = 3\sqrt{3}$ см.

Так как OT радиус вписанной окружности в квадрат ABCD, то по свойствам квадрата AB = 2OT = $2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см.

По формуле площади квадрата:

$S_{ABCD} = AB^{2} = (6\sqrt{3})^{2} = 108$ см².

По теореме если все двугранные углы выпуклой пирамиды при ребрах основания равны (двугранные углы равны 30°, так как

∠KTO = 30°), то площадь боковой поверхности пирамиды можно вычислить по формуле:

$S_{b} = \dfrac{S_{ABCD}}{\cos \angle KTO} = \dfrac{200}{\cos 30^{\circ}} = \dfrac{200}{0,5\sqrt{3} } = \dfrac{400 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \dfrac{400\sqrt{3} }{3}$ см².

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться геометрическими свойствами правильных четырехугольных пирамид и конусов.

Для начала определим, какая фигура будет образована около конуса. Если конус образован вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов (гипотенузы), то такая фигура будет квадратной пирамидой. Если конус образован вращением равностороннего треугольника, то такая фигура будет треугольной пирамидой. В данном случае, так как угол между образующей конуса и плоскостью основания составляет 30°, это означает, что у нас будет квадратная пирамида.

Площадь боковой поверхности квадратной пирамиды можно найти, зная боковую сторону этого квадрата и периметр основания пирамиды.

Периметр основания пирамиды равен периметру квадрата, и его можно найти, умножив длину стороны квадрата (которая равна длине образующей конуса) на 4:

Периметр = 4 * Длина стороны = 4 * 6 = 24

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности пирамиды, используя формулу:

Площадь боковой поверхности = (Периметр основания * Высота) / 2

Для нахождения высоты, мы можем воспользоваться тригонометрическим соотношением в прямоугольном треугольнике, где один из углов равен 30°, а образующая конуса является гипотенузой. Для нахождения высоты (h) используем функцию синуса:

sin(30°) = h / 6

h = 6 * sin(30°) = 6 * 0.5 = 3

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности пирамиды:

Площадь боковой поверхности = (24 * 3) / 2 = 36

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, описанной около данного конуса, равна 36 квадратным единицам (например, квадратным см, квадратным метрам и т. д.).