Question

Координаты вершин треугольника ABC равны A (3;4), B(5;8), C(9; 6). Для треугольника ABC: a) определите тип треугольника ABC. B) найдите координаты точки k, Если известна медиана bk. C) найдите площадь треугольника ABC.​

Answer 1

Ответ:

a) Тип треугольника - РАВНОБЕДРЕННЫЙ

b) Координаты точки K = (6; 5)

c) Площадь треугольника Δ ABC = $10 eg.^{2}$ (квадратных единиц)

Объяснение:

a) Так как отрезки AB и BC являются диагоналями одинаковых прямоугольников со сторонами 2х4 ⇒ AB = BC. А если в треугольнике две стороны равны ⇒ треугольник является РАВНОБЕДРЕННЫМ.

b) Координаты точки K по рисунку = (6; 5).

с) Так как BK является медианой равнобедренного Δ ABC ⇒ она совпадает с его ВЫСОТОЙ. А так же её длинна = половине отрезка AC

$BK=\frac{AC}{2}=AK=KC$

Площадь треугольника вычисляется по формуле:

$S=\frac{1}{2}ah$

a - основание треугольника (в нашем случае AC);

h - высота треугольника (в нашем случае BK).

Для того чтобы узнать длину основания треугольника AC - построим ещё один прямоугольный треугольник Δ ACZ, у которого AZ и ZC - катеты, а AC - гипотенуза.

По теореме Пифагора:  $AC^{2} = AZ^{2}+ZC^{2}$

На рисунке длина AZ = 6 ед.; длина ZC = 2 ед.

Подставляем эти значения в формулу, и вычисляем длину AC:

$></p> <p>⇒  <img src=$

Зная длину основания и высоты треугольника - вычисляем его площадь:

$S=\frac{1}{2}ah\\\\ S=\frac{1}{2}*AC*BK\\\\ S=\frac{1}{2}*\sqrt{40}*\frac{\sqrt{40}}{2}}\\\\ S=\frac{1*\sqrt{40}*\sqrt{40}}{2*2}\\\\ S=\frac{(\sqrt{40})^{2}}{4}\\\\ S=\frac{40}{4}\\\\ S=10 eg.^{2}$

Answer 2

A) Определение типа треугольника ABC: Для определения типа треугольника ABC, мы можем использовать длины его сторон. Мы можем использовать теорему Пифагора для определения длин сторон и затем применить правила для классификации треугольников.

1. Длина стороны AB: AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((5 - 3)^2 + (8 - 4)^2) = √(2^2 + 4^2) = √(4 + 16) = √20 = 2√5

2. Длина стороны BC: BC = √((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2) = √((9 - 5)^2 + (6 - 8)^2) = √(4^2 + (-2)^2) = √(16 + 4) = √20 = 2√5

3. Длина стороны CA: CA = √((x1 - x3)^2 + (y1 - y3)^2) = √((3 - 9)^2 + (4 - 6)^2) = √((-6)^2 + (-2)^2) = √(36 + 4) = √40 = 2√10

Теперь определим тип треугольника:

• Если все стороны равны, то треугольник ABC - равносторонний.
• Если две стороны равны, то треугольник ABC - равнобедренный.
• Если все стороны разные, то треугольник ABC - разносторонний.

В данном случае, все стороны разные (AB ≠ BC ≠ CA), поэтому треугольник ABC - разносторонний.

B) Найдем координаты точки K, если известна медиана BK: Медиана треугольника делит сторону пополам, и её конец находится в середине этой стороны. Для нахождения точки K, мы должны найти середину стороны AB.

Координаты точки K (xK, yK) будут равны средним значениям координат точек A и B:

xK = (x1 + x2) / 2 = (3 + 5) / 2 = 8 / 2 = 4 yK = (y1 + y2) / 2 = (4 + 8) / 2 = 12 / 2 = 6

Таким образом, координаты точки K равны K(4, 6).

C) Найдем площадь треугольника ABC: Для нахождения площади треугольника можно воспользоваться формулой Герона, но для этого сначала нужно найти полупериметр треугольника (s) и его стороны.

s = (AB + BC + CA) / 2 s = (2√5 + 2√5 + 2√10) / 2 s = (√5 + √10)

Теперь используем формулу Герона для вычисления площади (S):

S = √[s * (s - AB) * (s - BC) * (s - CA)] S = √[(√5 + √10) * (√5 + √10 - 2√5) * (√5 + √10 - 2√5) * (√5 + √10 - 2√10)]

S = √[√5 * √5 * √10 * √10] S = √(5 * 5 * 10 * 10) S = √(2500) S = 50

Площадь треугольника ABC равна 50 квадратным единицам.