Question

20 баллов Определите вид треугольника , если вершины имеют координаты M(-3;-1; 2) , N(1; 3;-1) и P(0;-1; 1)

Answer 1

Ответ:

треугольник MNP - разносторонний, тупоугольный (уг.Р > 90°)

Объяснение:

Дано:

$M(-3;-1; 2) , N(1; 3;-1), P(0;-1; 1)$

Для понимания, что это за ∆-к, следует вычислить длины его сторон (как известно, для вычисления всех составляющих треугольника длин 3х его сторон достаточно)

Длину отрезка по координатам концов этого отрезка вычисляют по формуле

$\small{|AB|{=}\sqrt{(A_x{-}B_x)^2+(A_y{-}B_y)^2+(A_z{-}B_z)^2}}$

$M(-3;-1; 2) , N(1; 3;-1), P(0;-1; 1) \\ MN = ...; \: MP = ...; \: NP ...$

$M(-3;-1; 2) , N(1; 3;-1), P(0;-1; 1) \\ \small{|MN|{ = } \sqrt{(1{ - }({ - }3))^{2}{ +} (3{ - }({ -} 1))^{2 }{ + }( - 1 - 2)^{2}} = } \\ \small{ = \sqrt{4^{2} + 4^{2} + ( - 3)^{2}} = \sqrt{16 + 16 + 9} = \sqrt{41}} \\ \small{|MP|{ = } \sqrt{(0{ - }({ - }3))^{2}{ +} ({ -} 1{ - }({ -} 1)^{2 }{ + }(1 - 2)^{2}} = } \\ \small{ = \sqrt{3^{2} + {0}^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}} \\ \small{ |NP|{ = } \sqrt{( 0{ - }1)^{2}{ +} ( - 1{ - }3)^{2 }{ + }( 1 - ( - 1))^{2}} = } \\ \small{{ = } \sqrt{( - 1)^{2} + {( - 4)}^{2} +2^{2}}{ =} \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21}}$

$MN=\sqrt{41};\: MP=\sqrt{10};\: NP=\sqrt{21}$

Все стороны имеют различную длину =>

треугольник разносторонний

Наибольшую длину имеет сторона MN.

По Т.косинусов произведем оценку угла напротив этой длины

$\small{MN^2{ = }MP^2{+}NP^2{-}MP {\cdot}{NP}{\cdot }\cos(\angle{P})} \\ 41 = 10 + 21 - \sqrt{21}{\cdot}\sqrt{10}{\cdot }\cos(\angle{P}) \\ \sqrt{210}\cos(\angle{P}) = 10 + 21 - 41 = - 10 \\ \cos(\angle{P}) = - \frac{10}{\sqrt{210}} = - \frac{10\sqrt{210}}{{210}}=-\frac{\sqrt{210}}{{21}} < 0 \\ \cos(\angle{P}) < 0 = > \angle{P} > 90^{o}$

а значит, треугольник тупоугольный, с тупым углом Р

Answer 2

Для определения вида треугольника по его вершинам, можно воспользоваться длинами его сторон или векторными операциями. В данном случае, мы можем воспользоваться векторным методом.

Для начала, найдем векторы $\overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{MP}$ с помощью координат вершин M, N и P:

$$\overrightarrow{MN} = \langle 1 - (-3), 3 - (-1), (-1) - 2 \rangle = \langle 4, 4, -3 \rangle$$

$$\overrightarrow{MP} = \langle 0 - (-3), (-1) - (-1), 1 - 2 \rangle = \langle 3, 0, -1 \rangle$$

Теперь найдем векторное произведение векторов $\overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{MP}$. Если результат векторного произведения равен нулевому вектору, то треугольник вырожденный (то есть он вырождается в отрезок или точку). Если векторное произведение ненулевое, можно продолжить анализ.

$$\overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MP} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & 4 & -3 \\ 3 & 0 & -1 \\ \end{vmatrix} = \langle 4, -9, -12 \rangle$$

Так как векторное произведение $\langle 4, -9, -12 \rangle$ не равно нулевому вектору, треугольник не является вырожденным. Теперь определим его вид.

Для этого можно воспользоваться скалярным произведением векторов $\overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{MP}$ и формулой для вычисления косинуса угла между векторами:

$$\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MP}}{\|\overrightarrow{MN}\| \|\overrightarrow{MP}\|}$$

где $\theta$ - угол между векторами, $\cdot$ - скалярное произведение, $\|\overrightarrow{MN}\|$ и $\|\overrightarrow{MP}\|$ - длины векторов $\overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{MP}$ соответственно.

Вычислим скалярное произведение и длины векторов:

$$\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MP} = 4 \cdot 3 + (-9) \cdot 0 + (-12) \cdot (-1) = 24 + 12 = 36$$

$$\|\overrightarrow{MN}\| = \sqrt{4^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 16 + 9} = \sqrt{41}$$

$$\|\overrightarrow{MP}\| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 0 + 1} = \sqrt{10}$$