Question

Ответ даю 20 баллов Найдите косинус угла между медианой AFи стороной BC треугольника , вершины которого имеют координаты A(-1; 0; 5) B(1; 4; 1) и C(3;-2; 1) Не игнорируйте пожалуйста...

Answer 1

Ответ:

$\cos( \angle{AFB})= 0$

Объяснение:

Дано:

$A(-1; 0; 5), \:B(1; 4; 1), \: C(3;-2; 1); \: \\ F \in BC; , \:BF=FC$

Найти:

$\angle(AFB) = \: ?$

Решение:

$A(-1; 0; 5), \:B(1; 4; 1), \: C(3;-2; 1); \: \\ F \in BC , \:BF=FC = \frac{BC}{2} \: = > \\ F= F(x , \:y , \:z),$

где Fx, Fy и Fz - координаты точки F по осям x, y, z соответственно.

$F(x , y , z)=F(\tfrac{{B_x+C_x}}{2};\:\tfrac{{B_y+C_y}}{2};\:\tfrac{{B_z+C_z}}{2}) \\ F_x = \tfrac{1 + 3}{2} = \tfrac{4}{2} = 2; \\F_y = \tfrac{4 - 2}{2}= \tfrac{2}{2} = 1; \\ F_z = \tfrac{1 + 1}{2} = \tfrac{2}{2} = 1\\ F = F(2; 1; 1)$

Рассмотрим ∆BAF:

$A(-1; 0; 5); \: B(1; 4; 1); \: F(2; 1; 1) \\ \small{AB =\sqrt{(-1 - 1)^{2} + (0 - 4)^{2} + (5 - 1)^{2}} } = \\ \small{ = \sqrt{( - 2)^{2} {+} ( - 4)^{2} {+ } {4}^{2} } {= } \sqrt{4 {+ }16 {+} 16} } {= }\sqrt{36} {= }6 \\ \small{AF =\sqrt{(-1 - 2)^{2} + (0 - 1)^{2} + (5 - 1)^{2}} } = \\\small{ \sqrt{ {( - 3)}^{2} {+} {( - 1)}^{2} + {4}^{2} \: } {= } \sqrt{9 + 1 + 16} = \sqrt{26} } \\ \small{BF =\sqrt{(1- 2)^{2} + (4 - 1)^{2} + (1 - 1)^{2}} } = \\ \sqrt{ {( - 1)}^{2} + {3}^{2} + {0}^{2} } = \sqrt{10}$

итак:

$AB =6;\: AF=\sqrt{26};\:BF=\sqrt{10}$

Заметим, что

$AB =6;\: AF=\sqrt{26};\:BF=\sqrt{10} \\ {\sqrt{26}}^{ \:2} + {\sqrt{10}}^{ \:2} = 26 + 10 = 36 = {6}^{2} \\ \\ AF^{2} + BF^{2} =AB ^{2} \quad \: \quad\quad\quad\quad\quad$

Соответственно,

∆ABF - прямоугольный, с гипотенузой АВ,

т.е. уг.F = 90° => AF _|_ BC

а значит:

$\angle(AFB) =90^o;\\ \cos \angle(AFB)= \cos 90^{o} =0$

Примечание:

Также можно изначально рассмотреть ∆АВС:

- найти длины АВ, АС, ВС.

- заметить, что АВ = АС, сделать вывод,

что ∆АВС - равнобедренный с основанием ВС

- Из св-в равноб. ∆-ков (медиана, проведенная к основанию равноб ∆ка, является также и его высотой) сделать вывод, что AF _|_ BC

- AF _|_ BC => уг.АFB = 90° => cos (уг.AFB) = 0

Всё.

Answer 2

Для нахождения косинуса угла между медианой и стороной треугольника, воспользуемся определением косинуса угла между двумя векторами.

1. Сначала найдем координаты векторов:

Вектор AF: AF = F - A AF = (1 - (-1), 4 - 0, 1 - 5) AF = (2, 4, -4)

Вектор BC: BC = C - B BC = (3 - 1, -2 - 4, 1 - 1) BC = (2, -6, 0)

2. Теперь найдем медиану треугольника. Медиана - это вектор, который соединяет вершину A (A(-1; 0; 5)) с серединой стороны BC. Найдем середину стороны BC:

Середина BC = (B + C) / 2 Середина BC = ((1, 4, 1) + (3, -2, 1)) / 2 Середина BC = (4, 2, 2) / 2 Середина BC = (2, 1, 1)

Теперь найдем вектор медианы, который соединяет вершину A и середину стороны BC:

Медиана AM = M - A Медиана AM = (2, 1, 1) - (-1, 0, 5) Медиана AM = (2 + 1, 1 - 0, 1 - 5) Медиана AM = (3, 1, -4)

3. Теперь найдем косинус угла между векторами AM и BC, используя формулу для косинуса угла между двумя векторами:

cos(θ) = (AM * BC) / (|AM| * |BC|)

где * обозначает скалярное произведение векторов, а |AM| и |BC| - их длины.

AM * BC = (3 * 2) + (1 * -6) + (-4 * 0) = 6 - 6 + 0 = 0

|AM| = √(3^2 + 1^2 + (-4)^2) = √(9 + 1 + 16) = √26

|BC| = √(2^2 + (-6)^2 + 0^2) = √(4 + 36) = √40 = 2√10

Теперь можем найти косинус угла θ:

cos(θ) = (0) / (√26 * 2√10) = 0

Косинус угла между медианой AF и стороной BC равен 0.