Question

Докажите теорему о средней линии треугольника. помогите пж))))

Answer 1

Если прямая, пересекающая середину одной стороны треугольника, параллельна другой стороне данного треугольника, то она делит третью сторону пополам.

Дано:тр. ABC, BD=DA, BF=FC, DF

Доказать: DF||AC, DF=1/2 AC

Допустим, что DF не параллельна AC . Тогда из середины D стороны AB проведем прямую, параллельную AC, которая пересечет сторону BC не в точке F. Но эта точка по теореме будет также серединой стороны BC. Получилось, что у BC две середины, что невозможно, а поэтому допущение неверно. Следовательно, DF||AC, т.е. средняя линия параллельна третьей стороне.

Возьмем AE=AC, тогда DE - средняя линия и DE||BC (по доказанному) . DFCE — параллелограмм, поэтому DE=EC=1/2 AC(так как AE=EC по построению).

Answer 2

Конечно, я помогу вам доказать теорему о средней линии треугольника.

Теорема о средней линии треугольника утверждает, что средняя линия треугольника параллельна и половинной длины одной из сторон треугольника.

Пусть у нас есть треугольник ABC, а M, N и P — середины сторон AB, BC и CA соответственно.

Доказательство:

1. Проведем линии, соединяющие вершины треугольника с серединами противоположных сторон: AC, BC и AB. Обозначим эти линии как AM, BN и CP.

2. Рассмотрим треугольники ABC и ABN.

   По построению AM является медианой треугольника ABC, а BN является медианой треугольника ABN.

3. По свойству медианы в треугольнике, точка M делит сторону BC пополам (точка N делит сторону AB пополам, но это не важно для данного доказательства).

   AM = MB.

4. Рассмотрим треугольники ABC и ACN.

   По построению CP является медианой треугольника ABC, а CN является медианой треугольника ACN.

5. По свойству медианы в треугольнике, точка P делит сторону AB пополам (точка N делит сторону AC пополам, но это не важно для данного доказательства).

   AP = PC.

6. Из пунктов 3 и 5 следует, что AM = MB = AP = PC.

7. Таким образом, AMCP — параллелограмм, так как противоположные стороны равны и параллельны (по свойству медианы).

   Следовательно, MP параллельна AC и равна ей наполовину.

Таким образом, средняя линия треугольника MP параллельна и равна половине стороны AC. Аналогично, она будет параллельна и равна половине любой другой стороны треугольника.