Question

B прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB = квадратный корень из 26, AD = 11, AA1 = 23. Найдите расстояние от точки С1 до прямой BD1

Answer 1

Решение и ответ к нему во вложении

Answer 2

Для нахождения расстояния от точки C1 до прямой BD1 в прямоугольном параллелепипеде, можно воспользоваться формулой для нахождения расстояния между точкой и прямой в трехмерном пространстве. Для этого предварительно найдем координаты точек C1, B, D1 и D, через которые проходит прямая BD1.

Известно, что AB = √26 и AD = 11. Тогда, используя теорему Пифагора в треугольнике ABD, можно найти длину BD:

BD = √(AB^2 + AD^2) = √(26 + 11^2) = √(26 + 121) = √147 = 7√3.

Теперь нам нужно найти координаты точек C1, B, D1 и D. Обозначим координаты точки A1 как (0, 0, 0) для удобства.

Так как точка C1 лежит на отрезке A1C1, то её координаты будут:

C1(0, 0, AC1),

где AC1 - длина отрезка AC1, которую мы пока не знаем.

Точка B лежит на отрезке AB, а точка D1 лежит на отрезке AD1. Так как A1B = √26 и A1D = 11, то координаты точек B и D1 будут следующими:

B(√26, 0, 0), D1(0, 0, 11).

Точка D лежит на отрезке BD, и её координаты можно найти, используя координаты точек B и D1:

D((√26 + 0) / 2, (0 + 0) / 2, (0 + 11) / 2) = (√26/2, 0, 11/2).

Теперь нам нужно найти координаты точки C1 и длину отрезка AC1. Мы знаем, что точка C1 лежит на отрезке AC1, и можем записать:

C1(0, 0, AC1).

Так как точка C1 лежит на прямой BD1, то вектор, направленный из точки C1 вдоль этой прямой, будет коллинеарен вектору BD1. Таким образом, мы можем записать соотношение между векторами:

BD1 = C1 - D1.

Теперь выразим вектор BD1 и вектор C1 - D1 через координаты:

BD1 = (√26 - √26/2, 0 - 0, 11 - 11/2) = (√26/2, 0, 11/2), C1 - D1 = (0 - 0, 0 - 0, AC1 - 11).

Теперь мы можем приравнять эти векторы:

(√26/2, 0, 11/2) = (0, 0, AC1 - 11).

Из этого уравнения видно, что координата Z вектора BD1 и координата Z вектора C1 - D1 совпадают, то есть:

11/2 = AC1 - 11.

Теперь найдем AC1:

AC1 = 11/2 + 11 = 11/2 + 22/2 = 33/2.

Теперь, когда мы знаем длину отрезка AC1, мы можем найти расстояние от точки C1 до прямой BD1, используя формулу для нахождения расстояния между точкой и прямой в трехмерном пространстве:

Расстояние = |C1D1 x C1D| / |BD1|,

где x обозначает векторное произведение, |C1D1| - длина вектора C1D1, |BD1| - длина вектора BD1.

Длина вектора C1D1:

|C1D1| = |(0, 0, AC1 - 11)| = √(0^2 + 0^2 + (AC1 - 11)^2) = √(33/2 - 11)^2 = √(33/2 - 22)^2 = √(11/2)^2 = 11/2.

Теперь найдем векторное произведение C1D1 x C1D:

C1D1 x C1D = |i j k | |0 0 (AC1 - 11)| |0 0 11/2 |

= (0i - 0j + 0k) - (0i - 0j + 0k) = (0, 0, 0).

Так как векторное произведение C1D1 x C1D равно нулю, расстояние от точки C1 до прямой BD1 равно нулю.

Итак, расстояние от точки C1 до прямой BD1 в данном прямоугольном параллелепипеде равно нулю.