Question

Из центра окружности О к хорде АВ, равной 20 см, проведен перпендикуляр ОС. Найдите длину перпендикуляра, если угол ОАВ=45°

Answer 1

Ответ:  10 см.

Объяснение:

Так как ∠ОАВ=45° и  ∠АСО=90°, то  ∠АОС = 45°. Значит  Δ АОС- равнобедренный и АС=ОС=АВ/2=20/2=10 см.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами окружности, треугольника и прямоугольного треугольника.

Известно, что хорда AB равна 20 см. Угол ОАВ равен 45°. Так как угол, заключенный между хордой и хордой, проходящей через центр окружности, равен удвоенному углу при основании, то у нас есть прямоугольный треугольник ОАС с прямым углом в точке C.

Так как ОС является перпендикуляром к хорде AB, угол ОСА равен 45°, также как и угол ОАВ.

Теперь мы имеем прямоугольный треугольник ОАС с углом 45° при вершине С. По свойствам прямоугольного треугольника:

$\tan(45°) = \frac{AC}{OA}$

У нас OA (радиус окружности) неизвестен, но мы знаем, что AB (хорда) равна 20 см. Половина хорды (половина отрезка AB) равна 10 см, что также является катетом прямоугольного треугольника ОАС.

$\tan(45°) = \frac{10 \, \text{см}}{OA}$

$OA = \frac{10 \, \text{см}}{\tan(45°)}$

$OA \approx 10 \, \text{см}$

Таким образом, радиус окружности OA примерно равен 10 см.

Для нахождения длины перпендикуляра ОС от центра окружности к хорде AB можем воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ОАС:

$AC^2 + OA^2 = OC^2$

$AC^2 = OC^2 - OA^2$

$AC = \sqrt{OC^2 - OA^2}$

$AC = \sqrt{20^2 - 10^2} \, \text{см}$ $AC = \sqrt{400 - 100} \, \text{см}$ $AC = \sqrt{300} \, \text{см}$ $AC \approx 17.32 \, \text{см}$

Таким образом, длина перпендикуляра ОС от центра окружности к хорде AB примерно равна 17.32 см.