Question

Докажите признак параллельности прямых по соответственным углам.

Answer 1

Ответ:

Если при пересечении двух прямых текущей соответтвенные углы равны то прямые параллельны

Answer 2

Признак параллельности прямых по соответственным углам известен как аксиома параллельности и используется в геометрии. Этот признак утверждает, что если две прямые пересекаются с третьей прямой так, что соответственные углы равны (или их сумма равна 180 градусов), то эти две прямые параллельны. Давайте докажем это утверждение.

Предположим, у нас есть две прямые AB и CD, которые пересекают третью прямую EF. Пусть угол AEG и угол DEH будут соответственными углами (см. рисунок).

cssCopy code
      A-----E
     /      \
    /         \
   /            \
  /               \
 B-----------------D
        C

Теперь, если угол AEG и угол DEH равны (или их сумма равна 180 градусов), то мы можем сказать, что угол AEG = угол DEH.

Теперь давайте рассмотрим угол GEH, который образован двумя пересекающимися прямыми AE и HD.

Согласно аксиоме вертикальных углов, угол AEG = угол DEH, поэтому угол GEH образован двумя вертикальными углами и, следовательно, также равен.

Таким образом, у нас есть следующие равенства углов:

1. Угол AEG = угол DEH
2. Угол GEH = угол AEG
3. Угол GEH = угол DEH

Из этих равенств следует, что угол GEH равен и самому себе. Это возможно только если прямые AB и CD параллельны, и прямая EF является трансверсалью, пересекающей их. Таким образом, аксиома параллельности устанавливает, что если соответственные углы равны, то прямые AB и CD параллельны.

Answer 3

Признак параллельности прямых по соответственным углам основан на следующем утверждении:

Если у двух прямых соответственные углы равны (то есть они равны между собой), то эти прямые параллельны.

Давайте докажем это утверждение.

Предположим, у нас есть две прямые AB и CD, и у них есть точки пересечения с третьей прямой XY (см. рисунок ниже).

cssCopy code
  A   B
   \ /
    X
   / \
  C   D

Допустим, угол AXD и угол BXC равны (то есть соответственные углы равны). Мы хотим доказать, что AB || CD.

Рассмотрим два треугольника AXD и BXC. У них равны два угла: угол AXD и угол BXC (по условию). По теореме о двух углах треугольника (известной как Теорема угол-угол-угол), если два угла в одном треугольнике равны двум углам в другом треугольнике, то эти треугольники подобны.

Следовательно, треугольники AXD и BXC подобны.

Теперь, вспомним теорему о параллельных прямых и соответственных углах:

Если две прямые пересекаются третьей прямой и соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны.

Исходя из подобия треугольников, у нас есть следующее:

Угол AXD и угол BXC равны. Угол ADX и угол BCX равны (соответствующие углы подобных треугольников равны). Таким образом, по теореме о параллельных прямых и соответственных углах, прямые AB и CD параллельны.

Это доказывает признак параллельности прямых по соответственным углам.