Question

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK=20, DK=15, BC=12. Найдите AD.

Answer 1

Ответ:

Решение на фото

Объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для четырёхугольника, вписанного в окружность.

Теорема Пифагора для четырёхугольника, вписанного в окружность, гласит, что сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов её сторон. В данном случае, диагонали это AD и BC, а стороны - AB, BK, CD и DK.

AB = BK + KA (где KA - это часть диагонали AD) CD = DK + KC (где KC - это часть диагонали AD)

Мы знаем, что BK = 20 и DK = 15. Давайте обозначим KC как x и KA как y.

Теперь у нас есть система уравнений:

1. AB + CD = BC
2. AB = BK + KA
3. CD = DK + KC

AB + CD = BC можно переписать как:

BK + KA + DK + KC = BC

Подставляем известные значения:

20 + y + 15 + x = 12

Теперь решим это уравнение относительно x и y:

20 + 15 + y + x = 12 35 + y + x = 12

Теперь выразим y + x:

y + x = 12 - 35 y + x = -23

Теперь мы знаем, что y + x = -23. Теперь вернемся к теореме Пифагора:

AD^2 + BC^2 = AB^2 + CD^2

AD^2 + 12^2 = (BK + KA)^2 + (DK + KC)^2 AD^2 + 144 = (20 + y)^2 + (15 + x)^2

Теперь подставляем y + x = -23:

AD^2 + 144 = (20 + (-23))^2 + (15 + x)^2 AD^2 + 144 = (-3)^2 + (15 + x)^2

AD^2 + 144 = 9 + (15 + x)^2

Теперь выразим (15 + x)^2:

(15 + x)^2 = AD^2 + 144 - 9 (15 + x)^2 = AD^2 + 135

Теперь возьмем квадратный корень с обеих сторон:

15 + x = √(AD^2 + 135)

Теперь выразим x:

x = √(AD^2 + 135) - 15

Мы уже знаем, что y + x = -23, поэтому:

y = -23 - x

Теперь подставим x и y в это уравнение:

-23 - √(AD^2 + 135) + 15 = -23 - x

Теперь решим это уравнение:

-23 + 15 - √(AD^2 + 135) = -23 + √(AD^2 + 135)

-8 - √(AD^2 + 135) = -23 + √(AD^2 + 135)

Теперь прибавим 8 и 23 к обеим сторонам:

8 + 23 - √(AD^2 + 135) = √(AD^2 + 135)

31 - √(AD^2 + 135) = √(AD^2 + 135)

Теперь избавимся от корня на правой стороне, возведя обе стороны в квадрат:

(31 - √(AD^2 + 135))^2 = (√(AD^2 + 135))^2

Это упрощается до:

961 - 62√(AD^2 + 135) + (AD^2 + 135) = AD^2 + 135

Теперь давайте избавимся от 135 с обеих сторон:

961 - 62√(AD^2 + 135) = AD^2

Теперь выразим AD^2:

AD^2 = 961 - 62√(AD^2 + 135)

Теперь перенесем все члены, связанные с AD^2, на одну сторону уравнения:

AD^2 + 62√(AD^2 + 135) = 961

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(AD^2 + 62√(AD^2 + 135))^2 = 961^2

AD^4 + 124AD^2√(AD^2 + 135) + 62^2(AD^2 + 135) = 961^2

Теперь у нас есть уравнение относительно AD^2. Мы можем решить его численно, например, с помощью компьютера или калькулятора. Решив это уравнение, мы найдем значение AD.