Question

СРОЧНО ПРОШУ ДАЮ 20 В прямоугольном треугольнике (∠B = 90°) величина угла A составляет 60°. Из вершины угла A проведена биссектриса AD, которая разбивает противоположный катет на отрезки BD и DC. 1. Докажите, что ΔBCA∼ΔBAD. 2. Найдите отношение BD:DС. Ответ запишите в виде отношения чисел.

Answer 1

Відповідь:

Плохо, что не было сказано в условии какой из углов прямой. Задача имеет смысл только при <B=90°.

1. В прямоугольных тр-ках △ВСА и △BAD два угла прямые. <BAD=30° (так как AD - биссектриса), <BCA=90-<A=90-60=30° => <BAD=<BCA, значит ΔBCA∼ΔBAD по двум углам.

2. AD - биссектриса, значит по свойству биссектрисы можем записать отношение:

AB/AC=BD/DC

sinBCA=sin30°=1/2

sinBCA=AB/AC

Следовательно, BD/DC=1/2

Пояснення:

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами биссектрисы в треугольнике.

1. Доказательство подобия ΔBCA и ΔBAD:

Из условия известно, что угол A равен 60° и угол B равен 90°. Из свойств треугольника следует, что угол C равен 30°, так как сумма углов в треугольнике равна 180°.

Теперь, по свойствам биссектрисы, угол BAC равен углу BAD, и угол ACB равен углу DAC. Таким образом, углы A и C в ΔBCA соответственно равны углам A и C в ΔBAD. Они также знают, что угол B в ΔBCA равен 90°.

Таким образом, по углам обе треугольники ΔBCA и ΔBAD подобны (по углам).

2. Найдем отношение BD к DC:

Из подобия треугольников мы можем установить следующее отношение:

$\frac{BD}{DC} = \frac{BA}{AC}.$

Так как угол BAC в ΔBAD равен 60°, а угол ACB в ΔBCA равен 30°, и сторона BA противоположна углу ACB, а сторона AC противоположна углу BAC, мы можем записать:

$\frac{BD}{DC} = \frac{BA}{AC} = \frac{\text{sin}(30°)}{\text{sin}(60°)} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}.$

Таким образом, отношение BD к DC равно $\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Правильный ответ: $BD : DC = 1 : \sqrt{3}$.