Question

Постройте сечение правильной четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через вершину A и середины рёбер B1C1 и D1C1. Найдите площадь сечения, если AB=1, AA1=2

Answer 1

Ответ:

$S = \dfrac{7\sqrt{41} }{24}$

Объяснение:

Дано: $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ - правильная четырехугольная призма(основания квадраты; боковые грани призмы - прямоугольники), $FC_{1} = FD_{1}$ , $KC_{1} = KB_{1}$, AB = 1, $AA_{1} = 2$

Построить: (сечение)AFK - ?

Найти: (площадь сечения)S - ?

План построения: Продлим прямую FK. Так как точки F,K ∈ AFK, то по аксиоме стереометрии FK ∈ AFK.

Продлим прямую $A_{1}B_{1}$. Пусть $A_{1}B_{1} \cap FK = O_{1}$. Так как $O_{1} \in FK$ и $FK \in AFK$, то $O_{1} \in AFK$. Так как точки $O_{1},A \in AFK$, то по аксиоме стереометрии $O_{1}A \in AFK$. Пусть $AO_{1} \cap BB_{1} = T$. Так как $T \in AO_{1}$ и  

Продлим прямую $A_{1}D_{1}$. Пусть $A_{1}D_{1} \cap FK = O_{2}$. Так как $O_{2} \in FK$ и $FK \in AFK$, то $O_{2} \in AFK$. Так как точки $O_{2},A \in AFK$, то по аксиоме стереометрии $O_{2}A \in AFK$. Пусть $AO_{2} \cap DD_{1} = P$. Так как $P \in AO_{2}$ и  

Так как точки F и K лежат в грани $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, то проведем отрезок FK.

Так как точки F и P лежат в грани $C_{1}D_{1}DC$, то проведем отрезок FP.

Так как точки T и K лежат в грани $C_{1}B_{1}BC$, то проведем отрезок TK.

Так как точки A и P лежат в грани $A_{1}D_{1}DA$, то проведем отрезок AP.

Так как точки A и T лежат в грани $A_{1}B_{1}BA$, то проведем отрезок AT.

Таким образом сечением правильной четырёхугольной призмы  $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ проходящей через точки K,F,A является пятиугольник FKTAP.

Решение:

Полное решение смотрите в вордовском файле!!!    

Answer 2

Для построения сечения правильной четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через вершину A и середины рёбер B1C1 и D1C1, следует выполнить следующие шаги:

1. Постройте основание призмы ABCD и выделите вершину A.
2. Из вершины A проведите отрезки к серединам рёбер B1C1 и D1C1. Эти отрезки будут перпендикулярны к рёбрам B1C1 и D1C1.
3. Соедините точки пересечения отрезков с рёбрами B1C1 и D1C1.

Получившаяся фигура будет плоскостью сечения, которую мы ищем. Она будет иметь форму трапеции, так как вершина A находится выше плоскости основания, и линии, проведенные от A к серединам B1C1 и D1C1, создадут трапецию.

Теперь, чтобы найти площадь сечения, нам нужно найти длину боковых сторон трапеции. Мы знаем, что AB = 1 и AA1 = 2. Таким образом, высота трапеции будет равна 2.

Чтобы найти длину верхней и нижней сторон трапеции, давайте рассмотрим треугольник A1B1C1. Так как призма правильная, то A1B1 = AB = 1. Также, A1C1 = 2 * AC = 2 * AB = 2 * 1 = 2.

Теперь у нас есть все стороны трапеции: верхняя сторона A1C1 = 2, нижняя сторона AB = 1 и высота 2.

Используя формулу для площади трапеции:

S = (1/2) * (сумма верхней и нижней сторон) * высота, S = (1/2) * (1 + 2) * 2, S = (1/2) * 3 * 2, S = 3.

Площадь сечения равна 3 квадратным единицам.