Question

Через точку М, лежащую вне окружности, проведена прямая, которая пересекает данную окружность в токах А и В. Докажите, что MA*MB=d^2-R^2, где R – радиус окружности, d – расстояние от точки М до центра окружности.

Answer 1

Ответ:

тут все просто

Объяснение:

во вложении

Answer 2

Для доказательства данного утверждения мы можем воспользоваться геометрическими свойствами окружности и прямой.

Пусть O - центр данной окружности, R - её радиус, а M - точка, лежащая вне окружности. Также, пусть точки A и B - точки пересечения прямой с окружностью, причем A ближе к M, чем B.

Теперь рассмотрим треугольник OMA. Он образует прямой угол с прямой AB, так как радиус всегда перпендикулярен к касательной к окружности в точке пересечения. Значит, у нас есть прямоугольный треугольник OMA.

Мы знаем, что OA = OB = R (так как они радиусы одной и той же окружности). Также, мы знаем, что MA = d (расстояние от точки M до центра окружности). Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника OMA:

(OM)^2 = (OA)^2 + (MA)^2 (OM)^2 = R^2 + d^2

Теперь рассмотрим треугольник OMB. Также, это прямоугольный треугольник, и его катеты OB и MB равны R и R, соответственно.

Снова используем теорему Пифагора:

(OM)^2 = (OB)^2 + (MB)^2 (OM)^2 = R^2 + (MB)^2

Теперь мы имеем два уравнения:

1. (OM)^2 = R^2 + d^2
2. (OM)^2 = R^2 + (MB)^2

Вычтем уравнение 2 из уравнения 1:

(R^2 + d^2) - (R^2 + (MB)^2) = 0

R^2 и R^2 сокращаются:

d^2 - (MB)^2 = 0

Теперь добавим (MB)^2 к обеим сторонам уравнения:

d^2 = (MB)^2

Теперь у нас есть выражение для (MB)^2. Теперь, чтобы получить MB, нужно извлечь квадратный корень:

MB = √(d^2)

MB = d

Таким образом, MB = d. Теперь мы можем использовать это значение в исходном утверждении:

MA * MB = d * d = d^2

Итак, MA * MB = d^2, что и требовалось доказать.