Question

Доведіть що чотирикутник ABCD де A(2; 0; - 1) B(4; - 1; - 1) C(5; 1; - 1) D(3; 2; - 1) є квадратом

Answer 1

Один iз способiв

Фото

Answer 2

Щоб довести, що чотирикутник ABCD є квадратом, нам потрібно перевірити кілька характеристик квадрата:

1. Усі сторони квадрата мають бути однаковою довжиною.
2. Усі кути квадрата мають бути прямими кутами.
3. Діагоналі квадрата мають бути однаковою довжиною і перпендикулярними одна до одної.

Спершу знайдемо довжину сторін чотирикутника ABCD:

• Відомо координати точок A(2, 0, -1), B(4, -1, -1), C(5, 1, -1) і D(3, 2, -1).
• Використовуючи формулу відстані між двома точками в тривимірному просторі, ми можемо знайти довжини сторін AB, BC, CD і DA.

Для зручності, позначимо довжини сторін як AB, BC, CD і DA.

AB = √((4 - 2)^2 + (-1 - 0)^2 + (-1 - (-1))^2) = √(2^2 + 1^2 + 0^2) = √5

BC = √((5 - 4)^2 + (1 - (-1))^2 + (-1 - (-1))^2) = √(1^2 + 2^2 + 0^2) = √5

CD = √((3 - 5)^2 + (2 - 1)^2 + (-1 - (-1))^2) = √(2^2 + 1^2 + 0^2) = √5

DA = √((2 - 3)^2 + (0 - 2)^2 + (-1 - (-1))^2) = √(1^2 + 4^2 + 0^2) = √17

Тепер ми маємо довжини сторін AB, BC, CD і DA:

AB = BC = CD = √5 DA = √17

Зараз перевіримо, чи всі кути чотирикутника ABCD є прямими кутами. Для цього ми можемо перевірити, чи вектори AB і BC перпендикулярні один до одного. Якщо це так, то всі кути квадрата є прямими кутами.

Вектор AB = (4 - 2, -1 - 0, -1 - (-1)) = (2, -1, 0) Вектор BC = (5 - 4, 1 - (-1), -1 - (-1)) = (1, 2, 0)

Добуток скалярних векторів AB і BC: AB * BC = (2 * 1) + (-1 * 2) + (0 * 0) = 2 - 2 + 0 = 0

Оскільки добуток скалярних векторів AB і BC дорівнює 0, це означає, що вектори AB і BC є перпендикулярними, і всі кути чотирикутника ABCD є прямими кутами.

Отже, ми підтвердили, що чотирикутник ABCD має однакові довжини сторін (AB = BC = CD = √5), всі його кути є прямими кутами, і, отже, він є квадратом.