Question

Окружность с центром в точке О( -4;0) проходит через точку К( -1;4). Запишите уравнение этой окружности. Найдите точки окружности, которые имеют ординату, равную 3.

Answer 1

Відповідь:

( х + 4 )^2 + у^2 = 25

( 0, 3 )

( -8, 3 )

Пояснення:

( х - (-4) )^2 + ( у - 0 )^2 = R^2

Найдем R^2

R^2 = ( (-4) - (-1) )^2 + ( 0 - 4 )^2 = (-3)^2 + (_4)^2 = 9 + 16 = 25

Уравнение

( х + 4 )^2 + у^2 = 25

При у = 3, получаем

( х + 4 )^2 = 25 - 9 = 16

х^2 + 8х + 16 = 16

х^2 + 8х = 0

Решаем уравнение

D = 8^2 - 4×1×0 = 64

Корни

х1 = ( -8 + sqrt(64) ) / 2×1 = 0

х2 = ( -8 - sqrt(64) ) / 2×1 = -8

Точки

( 0, 3 )

( -8, 3 )

Answer 2

Уравнение окружности с центром в точке O(-4,0) и проходящей через точку K(-1,4) имеет вид:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$,

где (a, b) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности.

Известно, что центр окружности находится в точке O(-4,0), поэтому $a = -4$ и $b = 0$.

Также окружность проходит через точку K(-1,4), что означает, что расстояние от центра O до точки K равно радиусу:

$(K - O)^2 = r^2$.

Расстояние между точкой K(-1,4) и центром O(-4,0) можно найти, используя теорему Пифагора:

$(K - O)^2 = (-1 - (-4))^2 + (4 - 0)^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

Теперь мы знаем, что $r^2 = 25$, и можем записать уравнение окружности:

$(x + 4)^2 + y^2 = 25$.

Чтобы найти точки окружности, у которых ордината равна 3, мы подставляем $y = 3$ в уравнение окружности и решаем уравнение относительно x:

$(x + 4)^2 + 3^2 = 25$,

$(x + 4)^2 + 9 = 25$,

$(x + 4)^2 = 16$.

Извлекая корень, получим два решения:

$x + 4 = 4$ или $x + 4 = -4$.

Далее решаем каждое уравнение:

1. $x + 4 = 4$: $x = 4 - 4$, $x = 0$.

2. $x + 4 = -4$: $x = -4 - 4$, $x = -8$.

Таким образом, две точки окружности с ординатой, равной 3, имеют координаты (0, 3) и (-8, 3).