Question

ДАЮ 40 БАЛЛОВ Даны точки М(3;0;-1) к(1;3;0) Р(4;-1;2). Найдите на оси Х такую точку А, чтобы векторы МК и РА были перпендикулярны.

Answer 1

A(x;0;0)

MK(1-3;3-0;0+1)=(-2;3;1)

PA(x-4;0+1;0-2)=(x-4;1;-2)

векторы перпендикулярны, когда их скалярное произведение 0

MK*PA=(x-4)*(-2)+3*1+1*(-2)=0

-2x+8+3-2=0

x=4.5

Answer 2

Чтобы векторы $\overrightarrow{MK}$ и $\overrightarrow{RA}$ были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю. Скалярное произведение двух векторов $\vec{A}$ и $\vec{B}$ определяется следующим образом:

$\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| \cdot |\vec{B}| \cdot \cos(\theta)$,

где $|\vec{A}|$ и $|\vec{B}|$ - длины векторов, $\theta$ - угол между векторами.

Давайте найдем вектор $\overrightarrow{MK}$ и вектор $\overrightarrow{RA}$ и затем найдем такую точку $A$, чтобы сделать их скалярное произведение равным нулю.

Вектор $\overrightarrow{MK}$ можно найти, вычитая координаты точки $M$ из координаты точки $K$:

$\overrightarrow{MK} = \begin{bmatrix} 1 - 3 \\ 3 - 0 \\ 0 - (-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$.

Вектор $\overrightarrow{RA}$ можно найти, вычитая координаты точки $A$ из координаты точки $R$:

$\overrightarrow{RA} = \begin{bmatrix} 4 - x \\ -1 - 0 \\ 2 - (-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 - x \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix}$.

Теперь мы хотим, чтобы скалярное произведение $\overrightarrow{MK}$ и $\overrightarrow{RA}$ было равно нулю:

$\overrightarrow{MK} \cdot \overrightarrow{RA} = \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 4 - x \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix} = 0$.

Для того чтобы это произведение было равно нулю, у нас есть:

$-2(4 - x) + 3(-1) + 1(3) = 0$.

Решим это уравнение для $x$:

$-8 + 2x - 3 + 3 = 0$.

$-8 - 3 + 2x + 3 = 0$