Question

: На продолжении ребра SA правильного тетраэдра SABC отмечена точка Р так, что SA = 2 AP. Точки М и N – середины ребер ВС и АС соответственно. Прямая PN пересекает ребро SC в точке Q. а) Докажите, что плоскость QMN перпендикулярна ребру SC. б) Найдите объем треугольной пирамиды SQMN, если все ребра тетраэдра равны 4.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

∠PAN=180°-∠SAC=180-60°=120°

ΔPAN - равнобедренный по AN=PA=2

∠SРQ=(180-120)/2=30°

∠SРQ=180-∠SРQ-∠РSQ=180-30-60=90°

ΔSРQ прямоугольный РQ⊥SС

ΔСNМ - равносторонний Δ со стороной 2

NМ=1/2АВ как средняя линия равностороннего Δ

ΔQNМ равнобедренный поскольку это проекция ΔСNМ

QN=QМ ⇒ QМ ⊥SС

Отсюда плоскость QNМ включающая в себе два пересекающихся отрезка, которые ⊥SС, тоже ⊥SС

Answer 2

a) Докажем, что плоскость QMN перпендикулярна ребру SC.

Сначала определим координаты точек A, B, C и S. Давайте предположим, что тетраэдр SABC находится в пространстве так, что точка S находится в начале координат (0, 0, 0). Тогда точки A, B и C могут иметь следующие координаты:

A(4, 0, 0) - так как все ребра тетраэдра равны 4. B(2, 3.464, 0) - B находится на расстоянии 2 от начала координат по оси X и на расстоянии sqrt(12) ≈ 3.464 по оси Y. C(2, 1.155, 3.291) - C находится на расстоянии 2 от начала координат по оси X, на расстоянии sqrt(3) ≈ 1.155 по оси Y и на расстоянии sqrt(4^2 + 1.155^2) ≈ 3.291 по оси Z.

Теперь, так как SA = 2AP, точка P находится на половине расстояния от S до A. Значит, координаты точки P равны (2, 0, 0).

Середины ребер ВС и АС уже известны:

M(2, 2.309, 1.645) - середина ребра ВС. N(3, 0.577, 1.645) - середина ребра АС.

Теперь мы можем найти уравнение прямой PN. Вектор, направленный от P к N, равен (3 - 2, 0.577 - 0, 1.645 - 0) = (1, 0.577, 1.645). Уравнение прямой PN можно представить в параметрической форме:

PN: X = 2 + t, Y = 0.577t, Z = 1.645t, где t - параметр.

Прямая PN пересекает ребро SC, которое лежит на линии X = 2. Для нахождения точки пересечения Q подставим X = 2 в уравнение прямой PN:

2 + t = 2 t = 0

Таким образом, Q(2, 0, 0). Теперь мы знаем координаты точек Q, M и N, и можем найти векторы MQ и NQ:

MQ = (2 - 2, 2.309 - 0, 1.645 - 0) = (0, 2.309, 1.645) NQ = (2 - 2, 0.577 - 0, 1.645 - 0) = (0, 0.577, 1.645)

Теперь проверим, перпендикулярна ли плоскость QMN ребру SC. Для этого проверим скалярное произведение векторов MQ и NQ:

MQ · NQ = 0 * 0 + 2.309 * 0.577 + 1.645 * 1.645 ≈ 2.68

Если скалярное произведение не равно нулю, то векторы MQ и NQ не перпендикулярны, и, следовательно, плоскость QMN перпендикулярна ребру SC.

b) Теперь найдем объем треугольной пирамиды SQMN. Объем пирамиды можно найти по формуле:

V = (1/3) * S_base * h,

где S_base - площадь основания, h - высота пирамиды от вершины S до плоскости QMN.

Основание пирамиды - треугольник MNQ. Его площадь можно найти, используя площадь треугольника через векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости треугольника. Векторное произведение MQ и NQ дает нормаль к плоскости треугольника MNQ. Площадь основания S_base равна половине модуля этого векторного произведения.

S_base = (1/2) * |MQ x NQ| = (1/2) * |(0, 2.309, 1.645) x (0, 0.577, 1.645)|

Вычислим векторное произведение:

MQ x NQ = |i j k| |0 2.309 1.645| |0 0.577 1.645|

= i(2.309 * 1.645 - 0.577 * 1.645) - j(0 * 1.645 - 0 * 1.645) + k(0 * 0.577 - 2.309 * 0)

= i(3.795 - 0.945) - j(0) + k(0)

= i(2.85) + k(0)

= (2.85, 0, 0)

Теперь вычислим модуль этого векторного произведения:

|MQ x NQ| = √(2.85^2 + 0^2 + 0^2) = 2.85

Площадь основания S_base = (1/2) * 2.85 = 1.425.

Теперь нам нужно найти высоту пирамиды h. Высота пирамиды - это расстояние от вершины S до плоскости QMN. Мы уже знаем, что точка Q(2, 0, 0) лежит на этой плоскости, а вершина S(0, 0, 0). Таким образом, высота h равна модулю вектора SQ:

h = |SQ| = √((2 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 0)^2) = √4 = 2.

Теперь мы можем найти объем пирамиды:

V = (1/3) * S_base * h = (1/3) * 1.425 * 2 = 0.95.

Ответ: объем треугольной пирамиды SQMN равен 0.95 кубическим единицам.