Question

Дан клетчатый прямоугольник 11×9 и замкнутая несамопересекающаяся ломаная, вершинами которой являются центры клеток, и все центры клеток лежат на этой ломаной. Чему равна площадь фигуры, которую эта ломаная ограничивает? ПОЖАЛУЙСТА ПОМОГИТЕ!

Answer 1

Ответ:

Площадь фигуры, ограниченной замкнутой ломаной линией, проходящей через центры всех клеток, равна 48, 5 клеток

Решение:

Смотри прикреплённый рисунок

Answer 2

Для решения данной задачи, можно воспользоваться принципом инклюзии-эксклюзии.

Сначала рассмотрим, какие клетки ограничиваются ломаной. У нас есть 11 клеток в ширину и 9 клеток в высоту, таким образом, всего 11 * 9 = 99 клеток внутри прямоугольника. Каждая вершина ломаной охватывает центр одной из клеток. Поскольку ломаная замкнутая и несамопересекающаяся, то она охватывает 99 вершин клеток.

Теперь, давайте посчитаем количество вершин, которые ограничиваются ломаной и находятся на грани прямоугольника. Грани прямоугольника длиной 11 и 9 клеток составляют его периметр.

На каждой из четырех сторон прямоугольника находится 11 вершин (так как прямоугольник имеет ширину 11 клеток). Также на каждой из четырех сторон находится 9 вершин (так как прямоугольник имеет высоту 9 клеток). Однако, в углах прямоугольника находятся по 1 вершине. Таким образом, на грани прямоугольника всего (11 + 9 - 4) * 2 + 4 = 42 + 4 = 46 вершин.

Используя принцип инклюзии-эксклюзии, мы можем вычислить количество вершин внутри прямоугольника, которые ограничиваются ломаной:

99 - 46 = 53 вершины внутри прямоугольника ограничиваются ломаной.

Теперь рассмотрим, как эти вершины разделены ломаной. Поскольку ломаная несамопересекающаяся, то она разделяет внутреннюю часть на несколько многоугольников.

Для подсчета площади многоугольников, сначала найдем количество треугольников, образованных ломаной внутри прямоугольника. Каждая вершина внутри прямоугольника может быть вершиной одного или двух треугольников, в зависимости от того, сколько соседних вершин имеет ломаная.

Если вершина имеет 2 соседние вершины, то она является вершиной двух треугольников. В противном случае, она является вершиной одного треугольника.

Поскольку у нас есть 53 вершины внутри прямоугольника, и каждая вершина соединена с 2 соседними вершинами, мы можем найти количество треугольников:

53 * 2 / 3 = 106 / 3 ≈ 35 треугольников.

Каждый из этих треугольников имеет площадь 1/2, так как он ограничен двумя сторонами ломаной и одной стороной прямоугольника. Таким образом, общая площадь фигуры, ограниченной ломаной, составляет:

35 треугольников * 1/2 = 35/2 = 17.5.

Итак, площадь фигуры, ограниченной данной ломаной в клетчатом прямоугольнике 11x9, равна 17.5 квадратным клеткам.