Question

Площадь прямоугольника треугольника равна 1, а радиус описанной около него окружности равен корень 5/2. Найдите косинус острого угла между медианами данного треугольника, проведёнными к его катетам.

Answer 1

Ответ:

$cos\alpha =\frac{5\sqrt{34} }{34}$

Объяснение:

Дано: Окр.OR-описанная

$R=\frac{\sqrt{5} }{2}$

ΔАВС - прямоугольный

$S_{ABC}=1$

ВК и СМ - медианы

Найти: cosα

Решение:

1. Окр. OR - описана около ΔАВС ⇒СВ - диаметр (прямой угол опирается на диаметр)

$CB=2R=2*\frac{\sqrt{5} }{2}=\sqrt{5}$

2. Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный.

Пусть меньший катет = a, больший - b.

Тогда:

Площадь треугольника:

$S=\frac{1}{2}ab$

По теореме Пифагора:

$a^2+b^2=BC^2$

Составим систему:

$\left \{ {{\frac{1}{2}ab =1} \atop {a^2+b^2=5}} \right. \;\;\;\left \{ {{ab=2} \atop {a^+b^2=5}} \right.$

$a=\frac{2}{b}\\\frac{4}{b^2}+b^2=5\\4+b^4-5b^2 =0\\b^4-5b^2 +4 =0$

По теореме Виета:

$>      </p> <p>Или </p> <p><img src=$

Тогда АС=1; АВ=2.

3. Рассмотрим ΔАВК - прямоугольный.

$AB=2;\;\;\;AK=\frac{1}{2}$ (ВК-медиана)

По т. Пифагора

$BK=\sqrt{4+\frac{1}{4} } =\frac{\sqrt{17} }{2}\\KP=\frac{1}{3}* \frac{\sqrt{17} }{2}=\frac{\sqrt{17} }{6}$ (св-во пересекающихся медиан)

4. Рассмотрим Δ МАС - прямоугольный.

$AC=1;\;\;\;AM=1$ (СМ-медиана)

По т. Пифагора

$CM=\sqrt{2}$

$CP=\frac{2}{3}\sqrt{2}$ (св-во пересекающихся медиан)

5. Рассмотрим ΔКРС

$KP=\frac{\sqrt{17} }{6};\;\;\;PC=\frac{2\sqrt{2} }{3};\;\;\;KC=\frac{1}{2}$

Используем теорему косинусов:

$a^2=b^2+c^2-2ab*cos\alpha$

Имеем

$></p> <p><img src=$

$cos\alpha =(\frac{17}{36}+\frac{32}{36}-\frac{9}{36}):\frac{2\sqrt{34} }{9}=\frac{40*9}{36*2\sqrt{34} } =\frac{5\sqrt{34} }{34}$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться тем фактом, что медианы треугольника делят друг друга в отношении 2:1. Также, у нас есть прямоугольный треугольник и радиус описанной окружности. Мы можем воспользоваться следующими формулами:

1. Площадь прямоугольного треугольника: S = (1/2) * a * b, где a и b - катеты.
2. Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности: R = (c/2), где c - гипотенуза.

Для начала, найдем длины сторон прямоугольного треугольника. Известно, что площадь равна 1, и мы можем записать следующее:

(1/2) * a * b = 1

a * b = 2

Также, нам известно, что радиус описанной окружности равен корню из 5/2:

R = √(5/2)

Теперь мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения гипотенузы:

a^2 + b^2 = c^2

Так как a * b = 2, то a = 2/b. Подставим это в уравнение:

(2/b)^2 + b^2 = c^2

4/b^2 + b^2 = c^2

Теперь нам нужно найти длину гипотенузы c. Мы знаем, что R = c/2, поэтому c = 2R. Подставим значение R:

c = 2 * √(5/2)

c = √(10)

Теперь мы можем записать уравнение для нахождения косинуса острого угла между медианами проведенными к катетам. Медианы делятся в отношении 2:1, поэтому одна медиана равна половине гипотенузы, а другая медиана равна половине одного из катетов.

Пусть M1 - медиана, проведенная к гипотенузе, и M2 - медиана, проведенная к одному из катетов. Тогда:

M1 = (1/2) * √(10) M2 = (1/2) * b

Теперь мы можем использовать определение косинуса острого угла в треугольнике:

cos(θ) = (M2 / M1)

cos(θ) = [(1/2) * b] / [(1/2) * √(10)]

cos(θ) = b / √(10)

Таким образом, косинус острого угла между медианами, проведенными к катетам, равен b / √(10).