Question

30 БАЛОВ!!! В прямоугольном треугольника с катетами AC=30 и BC=40 вписана окружность, которая касается стороны AC в точке E, BC в точке F, и AB в точке К. Найдите площадь треугольника EFK. Я по теореме косинусов нашел стороны внутреннего треугольника, потом по Герону нашел площадь, но там явно должно быть какое-то решение попроще, которое я не нашел. Помогите ПЖ найти решение почеловечнее, а то с этими корнями возится это какой-то ад.

Answer 1

Ответ:

120

Объяснение:

Answer 2

Конечно, я помогу вам найти более простое решение этой задачи. Давайте разберемся.

1. Обозначим радиус вписанной окружности как $r$.
2. Мы знаем, что касательная к окружности извне равна по длине касательной к окружности изнутри, а также что касательная к окружности изнутри перпендикулярна к радиусу в точке касания. Это позволяет нам найти длины отрезков $AE = AF = r$.
3. Так как $AE = AF = r$ и $AC = 30$, то $CE = CF = 30 - r$.
4. Из прямоугольности треугольника получаем, что $CE^2 + CF^2 = EF^2$, то есть $(30 - r)^2 + (30 - r)^2 = EF^2$.

Теперь давайте найдем площадь треугольника $EFK$. Мы можем использовать формулу площади треугольника через полупериметр и радиус вписанной окружности:

$$S_{EFK} = \sqrt{s(s - EF)(s - EK)(s - FK)}$$

где $s$ - полупериметр треугольника $EFK$, а $s = \frac{{EF + EK + FK}}{2}$.

1. Поскольку $EK = FK = r$ (каждый из них равен радиусу вписанной окружности), то $s = \frac{{EF + 2r}}{2} = \frac{{EF + r}}{2}$.

2. Мы уже знаем $EF^2 = 2(30 - r)^2$.

Теперь мы можем записать площадь треугольника $EFK$ как функцию от $r$ и найти минимум этой функции.

После этого вы сможете найти значение $r$, при котором площадь треугольника $EFK$ будет минимальной.