Question

В треугольнике АВС АС = 12 ; AB = 10 ; CE и AD - его медианы , M - центр тяжести . Известно , что биссектрисы четырёхугольника BEMD пересекаются в одной точке . Найдите площадь треугольника АВС

Answer 1

Понятно, зачем нам сказано, что биссектрисы пересекаются в одной точке - ведь эта точка равноудалена от . сторон четырехугольника и поэтому является центром вписанной окружности. А раз в четырехугольник можно вписать окружность, суммы противоположных сторон равны. Таким образом, ME+BD=MD+BE. Это равенство позволяет найти третью сторону треугольника, используя связь между сторонами и медианами треугольника, а также тот факт, что медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Пусть AB=c, BC=a, CA=b, тогда

$CE^2=\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}-\frac{c^2}{4};\ AD^2=\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}-\frac{a^2}{4}$ . Поэтому

$\frac{1}{3}\sqrt{\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}-\frac{c^2}{4}}+\frac{a}{2}=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}-\frac{a^2}{4}}+\frac{c}{2},$ а умножив для упрощения это равенство на 6 и подставив b=12 и c=10, получаем

$\sqrt{188+2a^2}+3a=\sqrt{488-a^2}+30.$

При всей моей любви к иррациональным уравнениям, решать это уравнение не хочется. Давайте попробуем угадать решение. И если Вы достаточно настойчивы, то удача в этой задаче к Вам придет - подходит a=10. ($\sqrt{388}+30=\sqrt{388}+30$). Другого решения быть не может, поскольку при a>0 правая часть возрастает, а левая убывает.

Таким образом, мы доказали, что наш треугольник равнобедренный со сторонами 12, 10 и 10. Иными словами, он состоит из двух прямоугольных треугольников с гипотенузой 10 и катетом 6, то есть треугольников, подобных египетскому 3-4-5. Площадь египетского треугольника равна 6, подобного треугольника с коэффициентом подобия 2 равна 24, а поскольку их два, суммарная площадь равна 48.

И наконец, кто не знает формулу для длины медианы, можно воспользоваться или теоремой косинусов, или теоремой Стюарта, или теоремой о сумме длин диагоналей параллелограмма.

Answer 2

Для нахождения площади треугольника ABC, давайте воспользуемся тем, что у нас есть медианы и центр тяжести.

Сначала найдем центр тяжести треугольника ABC. Центр тяжести точек A, B и C находится внутри треугольника на линии, соединяющей вершины с точкой пересечения медиан. Эта линия делит медианы в отношении 2:1.

Таким образом, координаты центра тяжести G находятся по формулам:

Gx = (Ax + Bx + Cx) / 3 Gy = (Ay + By + Cy) / 3

Где (Ax, Ay), (Bx, By) и (Cx, Cy) - координаты вершин треугольника ABC.

Теперь мы имеем центр тяжести G. Далее нам нужно найти точку пересечения биссектрис четырёхугольника BEMD. Поскольку биссектрисы четырёхугольника BEMD пересекаются в одной точке, мы знаем, что центр тяжести G также является центром тяжести этого четырёхугольника.

Теперь мы имеем координаты точки G, которая является центром тяжести и треугольника ABC, и четырёхугольника BEMD. Поскольку центр тяжести разбивает медианы в отношении 2:1, то мы можем найти координаты точек E и D, которые являются концами медиан треугольника ABC:

Ex = 2 * Gx - Cx Ey = 2 * Gy - Cy

Dx = 2 * Gx - Bx Dy = 2 * Gy - By

Теперь у нас есть координаты точек E и D. Мы также знаем, что BEMD - четырёхугольник, и биссектрисы четырёхугольника пересекаются в одной точке. Значит, точки E и D также лежат на одной из биссектрис четырёхугольника BEMD.

Теперь мы можем найти площадь треугольника ABC, используя координаты его вершин (A, B и C) и формулу для площади треугольника:

S(ABC) = 0.5 * |(Ax * (By - Cy) + Bx * (Cy - Ay) + Cx * (Ay - By))|

Где |...| обозначает модуль.

Таким образом, подставляя известные координаты (Ax, Ay), (Bx, By) и (Cx, Cy) и используя рассчитанные координаты точки G, вычислите площадь треугольника ABC.

Это вычисление может быть несколько сложным, но оно предоставит вам площадь треугольника ABC.