Question

пусть в треугольнике abc стороны ab=5,bc=6,ca = 7. проведена касательная к окружности, вписанной в треугольник, параллельная стороне ac. Эта касательная отсекает треугольник BMN от данного треугольника ABC. Найти отношение радиусов вписанных окружностей в треугольники BMN и ABC

Answer 1

Ответ:

2 : 9  

Объяснение:  Добавил доказательство используемых утверждений  ( Гордин )  ,  вообще  для сдающих ЕГЭ  его надо знать наизусть

Answer 2

Давайте обозначим:

• $r$ - радиус вписанной окружности в треугольнике ABC,
• $r_1$ - радиус вписанной окружности в треугольнике BMN.

Сначала найдем площади треугольников ABC и BMN:

1. Площадь треугольника ABC:

По формуле полусуммы боковых сторон и высоты:

$S_{ABC} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

где $s$ - полупериметр треугольника, $s = \frac{{a + b + c}}{2}$, $a = 7$, $b = 5$, $c = 6$.

$s = \frac{{7 + 5 + 6}}{2} = 9$

$S_{ABC} = \sqrt{9(9-7)(9-5)(9-6)} = \sqrt{9 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 3} = 12$

2. Площадь треугольника BMN:

Так как треугольник BMN подобен треугольнику ABC (по пропорциональности сторон), отношение площадей будет равно квадрату отношения линейных размеров:

$\frac{S_{BMN}}{S_{ABC}} = \left(\frac{MN}{AC}\right)^2$

Так как касательная параллельна стороне AC, то $MN$ и $AC$ подобны. Поэтому:

$\frac{MN}{AC} = \frac{BN}{BC} = \frac{BM}{AB}$

Из подобия треугольников BMN и ABC, мы можем выразить отношение длин этих отрезков:

$\frac{MN}{AC} = \frac{BN}{BC} = \frac{BM}{AB} = \frac{s-a}{s} = \frac{2}{3}$

Теперь мы можем выразить площадь треугольника BMN через площадь треугольника ABC:

$S_{BMN} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot S_{ABC} = \frac{4}{9} \cdot 12 = \frac{16}{3}$

Теперь мы можем использовать формулу для площади треугольника через радиус вписанной окружности:

$S = rs$

Для треугольника ABC:

$12 = r \cdot 9 \Rightarrow r = \frac{4}{3}$

Аналогично, для треугольника BMN:

$\frac{16}{3} = r_1 \cdot \frac{4}{3} \Rightarrow r_1 = 4$

Итак, отношение радиусов вписанных окружностей в треугольниках BMN и ABC равно:

$\frac{r_1}{r} = \frac{4}{\frac{4}{3}} = 3$