Question

В треугольнике с вершинами в точках А (4; 1), B (7; 5) и с (-4; 7) найдите: а) длину медианы, проведенной из вершины В; б) длину биссектрисы, проведенной из вершины А; в) координаты точки пересечения медиан; г) косинус внутреннего угла при вершине С.

Answer 1

Дан треугольник с вершинами в точках А (4; 1), B (7; 5) и с (-4; 7).

Находим:

а) длину медианы, проведенной из вершины В;

Расчет длин сторон     Квадрат

АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) =   5 25

BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) =   11,18033989 125

AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) =   10 100.

Как видим, треугольник прямоугольный.

Основания медиан (точки пересечения медиан со сторонами).      

А₁(Ха1;Уа1)       Хв+Хс      Ув+Ус                  х у

                     2              2               А₁   1,5      6

     

В₁(Хв1;Ув1) Ха+Хс      Уа+Ус                х       у

                     2               2  В₁    0      4

     

C₁(Хс1;Ус1)     Ха+Хв     Уа+Ув                      х у

                  2                2               С₁ 5,5   3.

 Длины медиан:  

АА₁ = √((Ха1-Ха)²+(Уа1-Уа)²)) =  5,590169944.    

BB₁ = √((Хв1-Хв)²+(Ув1-Ув)²)) =   7,071067812.    

CC₁ = √((Хc1-Хc)²+(Уc1-Уc)²)) =  10,30776406.

б) длину биссектрисы, проведенной из вершины А;

Длина биссектрисы:      

АА₃ = √(АВ*АС*((АВ+АС)²-ВС²))   = 4,714045208

                      АВ+АС    

в) координаты точки пересечения медиан это центр вписанной окружности;

Находим периметр: Р = 26,18034

             Х =    

ВС*Ха+АС*Хв+АВ*Хс   = 3,618033989.

             Р

     Y =

ВС*Уа+АС*Yв+АВ*Ус = 3,673762079.

             Р          

г) косинус внутреннего угла при вершине С.

cos C= АC²+ВС²-АВ²

        2*АC*ВС                         = 0,894427191  

   

  C = 0,463647609 радиан

  C = 26,56505118 градусов

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобятся следующие шаги:

а) Длина медианы, проведенной из вершины B: Медиана - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Для нахождения длины медианы из вершины B можно воспользоваться формулой для нахождения длины отрезка между двумя точками в декартовой системе координат:

Длина отрезка = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

Вершина B имеет координаты (7, 5), а середина противоположной стороны AB можно найти как среднее значение координат вершин A и C. Координаты вершины A (4, 1), а вершины C (-4, 7).

Середина стороны AB: x_AB = (4 + 7) / 2 = 11 / 2 = 5.5 y_AB = (1 + 5) / 2 = 6 / 2 = 3

Теперь мы можем найти длину медианы MB:

Длина MB = √((x_B - x_AB)² + (y_B - y_AB)²) Длина MB = √((7 - 5.5)² + (5 - 3)²) Длина MB = √((1.5)² + (2)²) Длина MB = √(2.25 + 4) Длина MB = √6.25 Длина MB = 2.5

Ответ: Длина медианы, проведенной из вершины B, равна 2.5.

б) Длина биссектрисы, проведенной из вершины A: Биссектриса - это отрезок, который делит угол при вершине A пополам и пересекает сторону BC. Для нахождения длины биссектрисы из вершины A, мы можем использовать формулу для длины отрезка, аналогичную предыдущей. Сначала найдем координаты точки пересечения биссектрисы и стороны BC.

Координаты вершины C (-4, 7), координаты вершины B (7, 5), а координаты вершины A (4, 1). Сначала найдем координаты точки D, где биссектриса пересекает сторону BC:

x_D = (x_B + x_C) / 2 x_D = (7 - 4) / 2 x_D = 3 / 2 = 1.5

y_D = (y_B + y_C) / 2 y_D = (5 + 7) / 2 y_D = 12 / 2 = 6

Теперь мы можем найти длину биссектрисы AD:

Длина AD = √((x_A - x_D)² + (y_A - y_D)²) Длина AD = √((4 - 1.5)² + (1 - 6)²) Длина AD = √((2.5)² + (-5)²) Длина AD = √(6.25 + 25) Длина AD = √31.25 Длина AD ≈ 5.59

Ответ: Длина биссектрисы, проведенной из вершины A, приближенно равна 5.59.

в) Координаты точки пересечения медиан: Точка пересечения медиан называется центром масс треугольника или барицентром. Для нахождения её координат, найдем средние значения координат вершин треугольника:

x_G = (x_A + x_B + x_C) / 3 x_G = (4 + 7 - 4) / 3 x_G = 11 / 3

y_G = (y_A + y_B + y_C) / 3 y_G = (1 + 5 + 7) / 3 y_G = 13 / 3

Ответ: Координаты точки пересечения медиан треугольника равны (11/3, 13/3).

г) Косинус внутреннего угла при вершине C: Косинус угла можно найти, используя теорему косинусов. Пусть a, b и c - длины сторон треугольника, а A, B и C - углы при вершинах A, B и C соответственно.

Сначала найдем длины сторон треугольника ABC. Для этого используем формулу для нахождения расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

Длина AB: AB = √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)²) AB = √((7 - 4)² + (5 - 1)²) AB = √(3² + 4²) AB = √(9 + 16) AB = √25 AB = 5

Длина BC: BC = √((x_C - x_B)² + (y_C - y_B)²) BC = √((-4 - 7)² + (7 - 5)²) BC = √((-11)² + 2²) BC = √(121 + 4) BC = √125 BC = 5√5

Длина AC: AC = √((x_C - x_A)² + (y_C - y_A)²) AC = √((-4 - 4)² + (7 - 1)²) AC = √((-8)² + 6²) AC = √(64 + 36) AC = √100 AC = 10

Теперь мы можем использовать теорему косинусов: cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)

где a = BC = 5√5, b = AC = 10, c = AB = 5.

cos(C) = ( (5√5)² + 10² - 5² ) / (2 * 5√5 * 10) cos(C) = (25 * 5 + 100 - 25) / (100√5) cos(C) = (125 + 100 - 25) / (100√5) cos(C) = 200 / (100√5) cos(C) = 2 / √5

Ответ: Косинус внутреннего угла при вершине C равен 2 / √5.