Question

Знайдіть sin α· cos α, якщо sin α + cos α = m\Найдите sin α · cos α, если sin α + cos α = m. Підказка – піднесіть двочлен sin α + cos α до квадрату.

Answer 1

Ответ:

$\boxed{ \sin \alpha \cos\alpha = \dfrac{m^{2} -1 }{2} }$

Объяснение:

За умовою:

$\sin \alpha + cos\alpha = m$ (піднесемо обидві частини до квадрата)

$\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha + 2 \sin \alpha \cos\alpha = m^{2}$

$1 + 2 \sin \alpha \cos\alpha = m^{2}$

$2 \sin \alpha \cos\alpha = m^{2} - 1|:2$

$\sin \alpha \cos\alpha = \dfrac{m^{2} -1 }{2}$

Answer 2

Давайте розглянемо вираз sin α · cos α, де sin α + cos α = m.

Піднесення до квадрату двочлена sin α + cos α

Застосуємо формулу квадрату суми двох чисел:

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

У нашому випадку, a = sin α і b = cos α, тому:

(sin α + cos α)^2 = (sin α)^2 + 2(sin α)(cos α) + (cos α)^2

Використання тотожності тригонометрії

Тепер, ми можемо скористатись тотожністю тригонометрії sin^2 α + cos^2 α = 1. Замінимо цей вираз у нашій формулі:

(sin α + cos α)^2 = (sin α)^2 + 2(sin α)(cos α) + (cos α)^2 (sin α + cos α)^2 = (sin α)^2 + (cos α)^2 + 2(sin α)(cos α) (sin α + cos α)^2 = 1 + 2(sin α)(cos α)

Знаходження sin α · cos α

Тепер, ми можемо розв'язати вираз sin α · cos α:

(sin α + cos α)^2 = 1 + 2(sin α)(cos α) (sin α)^2 + 2(sin α)(cos α) + (cos α)^2 = 1 + 2(sin α)(cos α) (sin α)^2 + (cos α)^2 + 2(sin α)(cos α) - 2(sin α)(cos α) = 1 (sin α)^2 + (cos α)^2 = 1

За тотожністю тригонометрії sin^2 α + cos^2 α = 1, ми можемо записати:

(sin α)^2 + (cos α)^2 = 1

Тому sin α · cos α = 0.

Отже, якщо sin α + cos α = m, то sin α · cos α = 0.