Question

Какое наибольшее число прямых можно провести на плоскости таким образом, чтобы среди любых 14 из них нашлись две, образующие угол в 90 градусов​

Answer 1

Из каждой точки можно провести 4 прямые в каждую из других точек. Всего получается

5*4=20 прямых. Но мы каждую из них подсчитали дважды. Уменьшаем в 2 раза. Ответ 10 прямых. Это при условий что 3 другие точки не лежат на одной.

Answer 2

Чтобы определить максимальное число прямых, которые можно провести на плоскости так, чтобы среди любых 14 из них нашлись две, образующие угол в 90 градусов, мы можем использовать принцип Дирихле (также известный как лемма о рукопожатиях). Этот принцип помогает определить минимальное количество объектов, которое необходимо выбрать из множества объектов, чтобы гарантировать наличие определенных свойств.

В данном случае, пусть у нас есть n прямых на плоскости, и нам нужно найти максимальное n, при котором среди любых 14 из этих прямых найдутся две, образующие угол в 90 градусов. По принципу Дирихле, мы можем рассмотреть следующие ситуации:

1. Максимальное количество прямых, образующих угол в 90 градусов: Пусть у нас есть k таких пар прямых. Тогда среди n прямых всего будет k пар, и каждая пара будет образована двумя прямыми.

2. Количество способов выбрать 14 прямых из n: Это можно выразить как "C(n, 14)", где "C" - это число сочетаний.

Теперь мы можем использовать принцип Дирихле: мы хотим найти максимальное n, при котором k пар прямых (каждая пара образует угол в 90 градусов) меньше или равно количеству способов выбрать 14 прямых из n:

k <= C(n, 14).

Теперь мы можем рассмотреть разные значения k и найти соответствующие значения n:

- Если k = 0, это значит, что нет пар прямых, образующих угол в 90 градусов. Тогда нам нужно, чтобы C(n, 14) было равно 0. Это возможно, если n < 14.

- Если k = 1, это значит, что у нас есть одна пара прямых, образующих угол в 90 градусов. Тогда нам нужно, чтобы C(n, 14) было равно 1. Это возможно, если n = 14.

- Если k = 2, это значит, что у нас есть две пары прямых, образующих угол в 90 градусов. Тогда нам нужно, чтобы C(n, 14) было равно 2. Это возможно, если n >= 14.

Таким образом, максимальное число прямых, которые можно провести на плоскости так, чтобы среди любых 14 из них нашлись две, образующие угол в 90 градусов, равно n = 14 или больше. Если n = 14, то у нас будет 14 прямых, и среди них найдутся две, образующие угол в 90 градусов. Если n > 14, то это также удовлетворит условию задачи.