Question

Довести що чотирикутник з вершинами A(-1:1) B(-3:7) C(3:5) D(5:-1)-ромб​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Находим AB=(-1*-3)+(1*7)= 3+7=10

CD=(3*5)+(5*(-1))=15-5= 10

Соответственно это ромб

Answer 2

Щоб довести, що чотирикутник з вершинами A(-1:1), B(-3:7), C(3:5) та D(5:-1) є ромбом, ми можемо скористатись властивостями ромба.

Ромб - це чотирикутник, у якого всі сторони мають однакову довжину. Крім того, в ромбі всі кути рівні. Отже, щоб довести, що дана фігура є ромбом, нам потрібно перевірити дві умови:

1. Усі сторони мають однакову довжину. 2. Усі кути рівні.

1. Перевірка довжин сторін

Для цього ми можемо обчислити відстані між кожною парою вершин та порівняти їх значення.

Відстань між двома точками A(x1:y1) та B(x2:y2) можна обчислити за допомогою формули відстані між двома точками в просторі:

AB = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Застосуємо цю формулу для обчислення відстаней AB, BC, CD та DA:

AB = sqrt((-3 - (-1))^2 + (7 - 1)^2) = sqrt((-2)^2 + 6^2) = sqrt(4 + 36) = sqrt(40) = 2 * sqrt(10)

BC = sqrt((3 - (-3))^2 + (5 - 7)^2) = sqrt((6)^2 + (-2)^2) = sqrt(36 + 4) = sqrt(40) = 2 * sqrt(10)

CD = sqrt((5 - 3)^2 + (-1 - 5)^2) = sqrt((2)^2 + (-6)^2) = sqrt(4 + 36) = sqrt(40) = 2 * sqrt(10)

DA = sqrt((-1 - 5)^2 + (1 - (-1))^2) = sqrt((-6)^2 + (2)^2) = sqrt(36 + 4) = sqrt(40) = 2 * sqrt(10)

Отже, всі сторони мають однакову довжину, а саме 2 * sqrt(10).

2. Перевірка рівності кутів

Для перевірки рівності кутів нам потрібно порівняти кути усередині фігури.

Кут між двома векторами можна обчислити за допомогою формули скалярного добутку векторів:

cos(θ) = (A · B) / (|A| * |B|)

де A та B - вектори.

Ми можемо обчислити кути ABC, BCD, CDA та DAB, і якщо вони всі рівні, то це підтвердить, що фігура є ромбом.

ABC:

Вектор AB = (-3 - (-1), 7 - 1) = (-2, 6) Вектор BC = (3 - (-3), 5 - 7) = (6, -2)

cos(ABC) = ((-2) * 6 + 6 * (-2)) / (sqrt(4 + 36) * sqrt(36 + 4)) = (-12 + (-12)) / (2 * sqrt(10) * 2 * sqrt(10)) = -24 / 40 = -0.6

BCD:

Вектор BC = (3 - (-3), 5 - 7) = (6, -2) Вектор CD = (5 - 3, -1 - 5) = (2, -6)

cos(BCD) = ((6) * 2 + (-2) * (-6)) / (sqrt(36 + 4) * sqrt(4 + 36)) = (12 + 12) / (2 * sqrt(10) * 2 * sqrt(10)) = 24 / 40 = 0.6

CDA:

Вектор CD = (5 - 3, -1 - 5) = (2, -6) Вектор DA = (-1 - 5, 1 - (-1)) = (-6, 2)

cos(CDA) = ((2) * (-6) + (-6) * (2)) / (sqrt(4 + 36) * sqrt(4 + 36)) = (-12 + (-12)) / (2 * sqrt(10) * 2 * sqrt(10)) = -24 / 40 = -0.6

DAB:

Вектор DA = (-1 - 5, 1 - (-1)) = (-6, 2) Вектор AB = (-3 - (-1), 7 - 1) = (-2, 6)

cos(DAB) = ((-6) * (-2) + 2 * 6) / (sqrt(4 + 36) * sqrt(4 + 36)) = (12 + 12) / (2 * sqrt(10) * 2 * sqrt(10)) = 24 / 40 = 0.6

Отже, всі кути ABC, BCD, CDA та DAB рівні, а саме cos(θ) = 0.6.

Висновок

Отже, згідно з перевірками, чотирикутник з вершинами A(-1:1), B(-3:7), C(3:5) та D(5:-1) є ромбом. Всі його сторони мають однакову довжину 2 * sqrt(10), а всі кути рівні.