Question

B2.Площадь круга описанного около правильного треугольника равна 10см2 .Найдите сторону треугольника , радиус вписаной и описаной окружности и периметр треугольника.

Answer 1

S(круга) =10 cм² , πr²=10 , r=√( 10/π) см;

R=2r , R=2√( 10/π) см;

а₃=R√3 ,а₃= 2√( 10/π)*√3=2√(30/π) (см);

Р(треуг)=3* а₃ , Р(треуг)=3*2√(30/π)=

=6√(30/π) ( см)

Answer 2

Давайте обозначим через \( R \) радиус описанной окружности вокруг правильного треугольника, через \( r \) - радиус вписанной окружности в этот треугольник, и через \( a \) - длину его стороны.

1. Площадь круга, описанного около правильного треугольника: \[ S_{\text{окр}} = \pi R^2 \]

2. Связь радиуса описанной окружности с длиной стороны треугольника: \[ R = \frac{a}{2 \sin(\frac{\pi}{3})} \] Поскольку треугольник правильный, угол при основании равен \(60^\circ\), а синус этого угла равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

3. Площадь треугольника: Площадь правильного треугольника можно выразить через его сторону \(a\) следующим образом: \[ S_{\text{тр}} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \]

Из условия задачи нам известна площадь описанного около треугольника круга (\(S_{\text{окр}} = 10 \, \text{см}^2\)), поэтому мы можем выразить длину стороны \(a\) через радиус описанной окружности: \[ a = \sqrt{\frac{4S_{\text{окр}}}{\sqrt{3}}} \]

4. Радиус вписанной окружности: Радиус вписанной окружности связан с площадью треугольника следующим образом: \[ r = \frac{S_{\text{тр}}}{p} \] где \( p \) - полупериметр треугольника, равный \(\frac{3a}{2}\).

5. Периметр треугольника: \[ P = 3a \]

Теперь мы можем подставить полученные выражения и решить задачу:

\[ a = \sqrt{\frac{4 \cdot 10}{\sqrt{3}}} \]

\[ R = \frac{a}{2 \sin(\frac{\pi}{3})} \]

\[ r = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}a^2}{\frac{3a}{2}} \]

\[ P = 3a \]