Question

Точки D и E отмечены соответственно на сторонах AC и BC треугольника ABC так, что AD=EC. Оказалось, что BD=ED, ∠BDC=∠DEB. Найдите длину отрезка AC, если известно, что AB=8 и BE=3.

Answer 1

Ответ:

АС=13 ед.

Объяснение:

Дано: ΔАВС.

AD=EC; BD=ED;

∠BDC=∠DEB

AB=8; BE=3.

Найти: АС

Решение:

1. ∠BDC=∠DEB

Сумма смежных углов равна 180°.

∠1=180°-∠BDC

∠2=180°-∠DEB

⇒ ∠1=∠2

2. Рассмотрим ΔВDЕ - равнобедренный.

⇒∠ DEВ=∠3 (при основании р/б треугольника)

3. Рассмотрим ΔDВС.

∠BDC=∠DEB (по условию)

∠3=∠DEB (п.2)

⇒ ∠BDC=∠3

⇒ΔBDC - равнобедренный (углы при основании равны)

DC=BС=8

Тогда ЕС=ВС-ВЕ=8-3=5

5. Рассмотрим ΔАBD и ΔDEС

AD=EC (условие)

BD=ED (условие)

∠1=∠2 (п.1)

⇒  ΔАBD = ΔDEС (по 1 признаку)

АВ=DС=8

АD=ЕС=5

АС=АD+DС=5+8=13

Answer 2

Обозначим длину отрезка AC как x.

Из условия известно, что AD = EC, BD = ED, AB = 8 и BE = 3.

Также у нас есть равенство углов: ∠BDC = ∠DEB.

Теперь рассмотрим треугольник BDC. У нас есть две стороны (BD и CD) и угол между ними (∠BDC). Мы можем использовать закон косинусов для нахождения длины стороны BC.

$BD^2 + CD^2 - 2 \cdot BD \cdot CD \cdot \cos(\angle BDC) = BC^2$

Подставим известные значения:

$BD^2 + CD^2 - 2 \cdot BD \cdot CD \cdot \cos(\angle BDC) = x^2$

Теперь рассмотрим треугольник BEC. У нас есть две стороны (BE и EC) и угол между ними (∠DEB). Мы также можем использовать закон косинусов для нахождения длины стороны BC.

$BE^2 + EC^2 - 2 \cdot BE \cdot EC \cdot \cos(\angle DEB) = BC^2$

Подставим известные значения:

$3^2 + x^2 - 2 \cdot 3 \cdot x \cdot \cos(\angle DEB) = x^2$

Теперь у нас есть два уравнения, и мы можем использовать их для решения системы уравнений. Решив систему уравнений, мы найдем значение x, которое представляет собой длину отрезка AC.