Question

Площадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 18 корней из 3 Один из ост­рых углов равен 60°. Най­ди­те длину катета, ле­жа­ще­го на­про­тив этого угла.

Answer 1

Ответ:

ΔАСВ - прямоугольный : АВ - гипотенуза ; АС,СВ - катеты

∠С= 90°

∠В = 60°

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Следовательно: ∠А = 90 - 60 = 30°

Катет лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы.

СВ = АВ/2

По теореме Пифагора:

АВ² = АС² + СВ² ⇒ АВ² = АС² + (АВ/2)²

АС= √ (АВ² - (АВ²/4)) ⇒ АС = √ ((4АВ² - АВ²)/4) = √(3АВ²/4) = (АВ*√3) /2

S =1/2 * АС * СВ = 18√3 / 3

1/2 * ((АВ*√3)/2 * (АВ/2)) = 18√3 / 3

1/2 * ( (АВ²*√3) / 4 ) = 18√3 / 3

АВ²√3 / 8 = 18√3 / 3

3 *√3* АВ² = 18√3 * 8

АВ² = 144√3 / 3√3

АВ² = 48

АВ = √48 = √(16*3) = 4√3 - гипотенуза

СВ = 4√3 /2 = 2√3 - один катет

АС = (4√3 *√ 3)/2 = (4*(√3)²)/2 = 12/2 = 6 - второй катет, который лежит против угла В = 60°.

Ответ: АС = 6.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой площади прямоугольного треугольника, а затем использовать определение тангенса угла в прямоугольном треугольнике.

Площадь прямоугольного треугольника равна:

\[ S = \frac{1}{2}ab, \]

где \( a \) и \( b \) - катеты треугольника.

В данной задаче известна площадь \( S = 18\sqrt{3} \), и мы ищем длину катета, лежащего напротив острого угла, равного 60°.

Так как у нас есть формула для площади треугольника, то мы можем выразить один из катетов через площадь и другой катет:

\[ 18\sqrt{3} = \frac{1}{2}ab. \]

Далее, длина катета \( b \) лежащего напротив угла 60°, равна:

\[ b = a \tan(60°). \]

Теперь мы можем подставить это выражение в формулу для площади:

\[ 18\sqrt{3} = \frac{1}{2}a \cdot a \tan(60°). \]

Угол 60° соответствует тангенсу \( \tan(60°) = \sqrt{3} \), поэтому:

\[ 18\sqrt{3} = \frac{1}{2}a^2 \cdot \sqrt{3}. \]

Теперь упростим уравнение:

\[ 36 = a^2. \]

Отсюда находим длину катета \( a \):

\[ a = \sqrt{36} = 6. \]

Таким образом, длина катета, лежащего напротив острого угла, равного 60°, составляет 6 единиц.