Question

На равных отрезках АВ и ВС отметили точки М и Р соответственно так, что угол ВАР равен углу ВСМ. Отрезки АР и СМ пересекаются в точке О. Докажите, что АО=ОС. Помогите пж

Answer 1

(См. рисунок)

Доказательство: ΔАВР = ΔВМС по стороне и двум прилежащим к ней углам – второй признак равенства треугольников

(АВ = ВС, ∠ВАР = ∠ВСМ по условию, ∠В - общий) ⇒ ВМ = ВР ⇒

АМ = АВ - ВМ = РС = ВС - ВР. Далее ∠АОМ = ∠СОР как вертикальные углы ⇒ ∠АМО = 180° - (∠АОМ + ∠ВАР) = ∠ОРС = 180° - (∠СОР + ∠ВСМ) ⇒ ΔАОМ = ΔОРС по стороне и двум углам (∠ВАР = ∠ВСМ - по условию, ∠АМО  = ∠ОРС, АМ = РС) ⇒ АО = ОС как стороны равных треугольников, лежащие против соответственных равных углов.  

Answer 2

Для доказательства равенства АО = ОС, мы можем воспользоваться теоремой о сумме углов треугольника, а также сходством треугольников.

Из условия задачи, угол ВАР равен углу ВСМ. Это означает, что угол АРО равен углу СМО, так как данные углы являются вертикальными.

Теперь рассмотрим треугольники АРО и СМО. У них угол АРО равен углу СМО, и угол ОАР равен углу ОСМ (так как они являются вертикальными).

Таким образом, по признаку сходства треугольников (по 2 углам), мы можем сделать вывод, что треугольники АРО и СМО подобны.

Из подобия треугольников АРО и СМО следует, что их соответственные стороны пропорциональны. А так как стороны АО и ОС общие для обоих треугольников, то их отношение должно быть равно 1.

Таким образом, АО = ОС, что и требовалось доказать.