Question

Известно, что в правильном тетраэдре KPNM KH - высота тетраэдра, точка L - середина ребра KM. Ребро тетраэдра равно 4. Найдите угол между прямыми KH и NL

Answer 1

Расчёт в координатной прямоугольной системе.

Основание тетраэдра KPNM - (это PNM) в плоскости хОу, вершина N в начале координат, ребро NM по оси Оу.

Определяем координаты заданных точек.

N(0; 0; 0), M(0; 4; 0), P(2√3; 2; 0).

Высоту точки К находим по формуле H = a√(2/3) = 4*√(2/3) ≈ 3,26599.

Точка К((2√3/3); 2; 4√(2/3)).

Координаты точки Н (это основание высоты пирамиды) находим как точку пересечения медиан основания пирамиды по формуле среднего арифметического координат вершин основания.

H((2√3/3); 2; 0).

Точка L как середина ребра KM:

L =(К((2√3/3); 2; 4√(2/3)) + M(0; 4; 0))/2 = ((√3/3); 3; 2√(2/3))

Определяем векторы.

КН = (0; 0; -4√(2/3)), модуль равен 4√(2/3)

NL = L(((√3/3); 3; 2√(2/3)) - N(0; 0; 0) =  ((√3/3); 3; 2√(2/3)), модуль равен √((3/9) + 9 + (8/3)) = √(108/9) = 2√3.

Теперь находим косинус угла между заданными прямыми.

cos(KH_NL) = |(0 + 0 + (-16/3))|/(4√(2/3)*2√3) = √2/3.

Угол равен arccos(√2/3) = 1,0799 радиан или 61,8745 градуса.

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся свойствами правильного тетраэдра.

У нас дано, что высота тетраэдра равна kh и точка l является серединой ребра km.

Для начала, найдем значение высоты.

Рассмотрим треугольник kmh, состоящий из ребер km и kh, а также высоты kh.

Так как это правильный тетраэдр, то в этом треугольнике угол между сторонами kh и km равен 90 градусов (потому что это прямоугольный треугольник).

Также, kh является высотой треугольника kmh, поэтому угол khm равен 90 градусов (потому что высота в прямоугольном треугольнике является биссектрисой угла между катетами).

Тогда у нас получается, что треугольник kmh является прямоугольным и у него два угла равны 90 градусов.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения значения высоты kh.

Известно, что ребро тетраэдра равно 4, значит стороны km и kh равны по 4.

Используем теорему Пифагора:

km^2 = kh^2 + mh^2

4^2 = kh^2 + (4/2)^2

16 = kh^2 + 2^2

16 = kh^2 + 4

kh^2 = 12

kh = √12 = 2√3

Таким образом, высота kh равна 2√3.

Теперь нам нужно найти угол между прямыми kh и nl.

Рассмотрим треугольник lkn, состоящий из ребер nl и kh, а также высоты nk.

Заметим, что треугольник lkn и треугольник kmh подобны, так как у них одинаковые углы (на противолежащих сторонах) и соответствующие стороны пропорциональны.

Так как kmh - прямоугольный треугольник, то угол ликн также равен 90 градусов.

Также, мы уже нашли значение высоты kh и знаем, что оно равно 2√3.

Используя подобие треугольников, можем найти значение высоты нk.

kh / nk = km / ln

2√3 / nk = 4 / ln

nk = (2√3 * ln) / 4

Так как точка l является серединой ребра km, то длина лн равна половине длины жк.

ln = 0.5 * kj = 0.5 * 4 = 2

nk = (2√3 * 2) / 4 = √3

Теперь мы знаем значение высоты nk, которая равна √3.

Чтобы найти угол между прямыми kh и nl, мы можем использовать арктангенс:

α = arctan(√3 / 2√3) = arctan(1/2) = 30 градусов.

Таким образом, угол между прямыми kh и nl равен 30 градусов.