Question

100 БАЛЛОВ! В треугольнике АВС известно, что угол А = 40°, угол В = 20°, АВ - ВС = 4 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из угла С​

Answer 1

CD - биссектриса угла C

Дополним построение:

Добавим точку E, лежащую на AB

Получается EB = BC , т.е. Δ ECB является равнобедренным.

Угол ∠ B = 20°

Значит ∠ ECB = ∠CEB = ( 180° - 20° ) / 2 = 80°

В Δ ACB углы ∠A и ∠B известны, значит:

∠C = 180° - 20° - 40° = 120°

Половина ∠ C = ∠ ACD = ∠ BCD = 120° / 2 = 60°

В Δ ACD = ∠ A и ∠ ACD известны, значит:

∠ ADC = 180° - 40° - 60° = 80°

Рассмотрим треугольник Δ ECD

Углы ∠ CED ( = ∠ CEB ) и ∠ CDE ( = ∠ ADC ) равны, значит Δ является равнобедренным

EC = CD ∠ ECD = 180° - 80° - 80° = 20°

Рассмотрим треугольник Δ ACE

Угол ∠ A известен, угол ∠ACE можно получить как разницу углов ∠ACD и ∠ECD

∠ ACE = 60° – 20° = 40°

∠ ACE = ∠ A, то есть Δ ACE также равнобедренный

AE = EC

Осталось найти биссектрису CD

CD = EC = AE = AB - EB = AB - BC = 4

Ответ: 4

Answer 2

Для нахождения биссектрисы треугольника, проведенной из угла C, мы можем использовать теорему синусов.

Сначала найдем третий угол треугольника C. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, мы можем вычислить угол C следующим образом:

C = 180° - A - B C = 180° - 40° - 20° C = 120°

Теперь мы можем применить теорему синусов для нахождения длины биссектрисы треугольника. Теорема синусов гласит:

BC / sin(B) = AC / sin(C)

Мы знаем, что AB - BC = 4 см и можем найти значение BC, используя это уравнение:

BC = AB - 4 см

Теперь мы можем записать уравнение с использованием известных значений:

(AB - 4 см) / sin(20°) = AC / sin(120°)

Для упрощения вычислений, заменим sin(120°) на sin(60°), так как sin(120°) и sin(60°) имеют одинаковое значение:

(AB - 4 см) / sin(20°) = AC / sin(60°)

Теперь мы можем решить это уравнение относительно AC, чтобы найти длину биссектрисы треугольника:

AC = (AB - 4 см) * sin(60°) / sin(20°)

Подставляя известные значения, получим:

AC = (4 см - 4 см) * sin(60°) / sin(20°) AC = 0 см

Таким образом, длина биссектрисы треугольника, проведенной из угла C, равна 0 см.