Question

Через вершину A прямоугольника ABCD проведена прямая ℓ, как изображено на рисунке. Из точек B и D опущены перпендикуляры BX и DY на прямую ℓ. Найдите длину отрезка XY, если известно, что BX=4, DY=12, BC=2AB. СРОЧНО

Answer 1

Ответ: 14 (ед. длины)

Объяснение:

Угол ХАY - развернутый=180°.

Угол ВАD=90°( АВСD - прямоугольник),

∠ВАХ+у∠DAY=180°-90°=90°.

Примем ∠ВАХ=х°

Тогда ∠DAY=90°-x°.

∠ХВА=90°-х°(т.к. сумма острых углов прямоугольного треугольника – 90°).

∠АВХ=∠DAY =>

∆ АВХ~∆ ADY по острому углу.

AD=BC=2AB. =>

k=AD:AB=2 =>

AY=2BX=2•4=8;

DY=2XA=> XA=12:2=6.

XY=XA+AY=6+8=14 (ед. длины).

Answer 2

Решение:

Для решения данной задачи, нам необходимо найти длину отрезка XY, при условии, что BX = 4, DY = 12 и BC = 2AB.

Для начала, давайте разберемся с информацией, которая дана в условии задачи. У нас есть прямоугольник ABCD, через вершину A которого проведена прямая ℓ. Из точек B и D опущены перпендикуляры BX и DY на прямую ℓ. Также известно, что BC = 2AB.

Для решения задачи, мы можем использовать геометрические свойства прямоугольников и треугольников.

Решение:

1. Из условия задачи, нам дано, что BC = 2AB. Это означает, что отношение длины BC к длине AB равно 2:1.

2. Из пункта 1, мы можем сделать вывод, что треугольник ABC является прямоугольным треугольником со сторонами в отношении 2:1:√5. Это следует из того, что в прямоугольном треугольнике со сторонами a, b и c, где c - гипотенуза, выполняется соотношение a^2 + b^2 = c^2.

3. Так как треугольник ABC является прямоугольным, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины сторон треугольника. Известно, что BC = 2AB, поэтому мы можем записать уравнение:

(2AB)^2 + AB^2 = AC^2

Раскроем скобки и упростим уравнение:

4AB^2 + AB^2 = AC^2

5AB^2 = AC^2

Так как AC^2 = 5AB^2, мы можем сделать вывод, что AC = AB√5.

4. Теперь, когда у нас есть длина стороны AC, мы можем использовать ее для нахождения длины отрезка XY.

Из условия задачи, нам дано, что BX = 4 и DY = 12. Так как BX и DY - это перпендикуляры к прямой ℓ, они являются высотами треугольника ABC.

Так как треугольник ABC является прямоугольным, мы можем использовать формулу для площади прямоугольного треугольника:

Площадь треугольника ABC = (1/2) * AC * BC

Подставим значения AC = AB√5 и BC = 2AB:

Площадь треугольника ABC = (1/2) * AB√5 * 2AB

Площадь треугольника ABC = AB^2√5

Также, площадь треугольника ABC можно выразить через длины сторон BX и DY:

Площадь треугольника ABC = (1/2) * BX * DY

Подставим значения BX = 4 и DY = 12:

Площадь треугольника ABC = (1/2) * 4 * 12

Площадь треугольника ABC = 24

Так как площадь треугольника ABC одна и та же, мы можем приравнять два выражения:

AB^2√5 = 24

Разделим обе части уравнения на √5:

AB^2 = 24 / √5

AB^2 = 24√5 / 5

AB = √(24√5 / 5)

Теперь, когда у нас есть длина стороны AB, мы можем найти длину отрезка XY.

Из условия задачи, мы знаем, что BX = 4 и DY = 12. Так как BX и DY - это перпендикуляры к прямой ℓ, они являются катетами прямоугольного треугольника BXY и DXY.

Используя теорему Пифагора для треугольников BXY и DXY, мы можем записать уравнения:

BX^2 + XY^2 = BY^2

DY^2 + XY^2 = DY^2

Подставим значения BX = 4 и DY = 12:

4^2 + XY^2 = BY^2

12^2 + XY^2 = DY^2

16 + XY^2 = BY^2

144 + XY^2 = 144

XY^2 = 144 - 16

XY^2 = 128

XY = √128

Таким образом, длина отрезка XY равна √128.

Ответ:

Длина отрезка XY равна √128.