Question

Плоскость α пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках D и E соответственно, причем АС параллельна плоскости α. Найдите АС, если BD: AD = 3:2, DE =9см​

Answer 1

Ответ:

сначало докажем что треугольник АСЕ подобен треугольнику DBС.

эти треугольники подобны по 1 свойству: угол Б-общий, угол DBЕ=углу BАС внутренние односторонние углы при DE параллельна AC и секущей AB

AC/DE=AB/DB

AC=(AB*DE)/DB

AB=3+4=7

AC= (7*10)/3=70/3= 23 1/3

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся подобием треугольников. Поскольку \(\overline{AC}\) параллельна плоскости \(\alpha\), то сегменты \(\overline{BD}\) и \(\overline{AE}\) также параллельны этой плоскости. Теперь давайте рассмотрим треугольники \(\triangle ABD\) и \(\triangle AEC\).

Сначала установим отношение длин отрезков \(\overline{BD}\) и \(\overline{AD}\): \(BD : AD = 3 : 2\). Также нам дано, что длина отрезка \(\overline{DE} = 9\) см. Из этого мы можем выразить длины отрезков \(\overline{BE}\) и \(\overline{AE}\):

\[ \begin{align*} BD &= 3x \\ AD &= 2x \\ DE &= 9 \text{ см} \end{align*} \]

Теперь рассмотрим отношения длин отрезков в треугольниках \(\triangle ABD\) и \(\triangle AEC\). Поскольку сегменты параллельны, соответствующие углы треугольников равны. Таким образом, мы имеем следующее отношение:

\[ \frac{BD}{AD} = \frac{BE}{AE} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{3x}{2x} = \frac{BE}{AE} \]

Сокращаем на \(x\):

\[ \frac{3}{2} = \frac{BE}{AE} \]

Теперь у нас есть отношение длин отрезков \(\overline{BE}\) и \(\overline{AE}\). Мы знаем, что \(\overline{DE} = 9\) см. Также, поскольку \(\overline{AC}\) параллельна \(\alpha\), отрезки \(\overline{BD}\) и \(\overline{CE}\) являются пропорциональными частями отрезка \(\overline{BC}\).

Таким образом:

\[ \frac{BD}{BC} = \frac{BE}{CE} \quad \text{и} \quad \frac{CE}{BC} = \frac{AE}{AC} \]

Сначала находим отношение \(\frac{BE}{CE}\):

\[ \frac{3}{2} = \frac{BE}{CE} \]

Теперь находим отношение \(\frac{AE}{AC}\). Заметим, что \(\frac{AE}{AC} = 1 - \frac{CE}{AC}\):

\[ \frac{AE}{AC} = 1 - \frac{CE}{BC} = 1 - \frac{1}{\frac{BC}{CE}} = 1 - \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} \]

Теперь у нас есть все отношения:

\[ \frac{BD}{BC} = \frac{3}{5} \quad \text{и} \quad \frac{AE}{AC} = \frac{1}{2} \]

Теперь можем выразить длины отрезков \(\overline{BC}\) и \(\overline{AC}\):

\[ \begin{align*} \frac{BD}{BC} &= \frac{3}{5} \\ \frac{AE}{AC} &= \frac{1}{2} \end{align*} \]

Мы знаем, что \(\overline{BD} = 3x\) и \(\overline{DE} = 9\) см. Теперь можем выразить длины \(\overline{BC}\) и \(\overline{AC}\):

\[ \begin{align*} \overline{BD} + \overline{DE} &= \overline{BE} = \frac{3}{5} \cdot \overline{BC} \\ 3x + 9 &= \frac{3}{5} \cdot \overline{BC} \end{align*} \]

Решаем уравнение относительно \(\overline{BC}\):

\[ \overline{BC} = \frac{5}{3} (3x + 9) \]

Теперь выразим \(\overline{AC}\):

\[ \begin{align*} \overline{AE} &= \frac{1}{2} \cdot \overline{AC} \\ \frac{3}{2} \cdot \overline{BD} + \overline{DE} &= \frac{1}{2} \cdot \overline{AC} \\ \frac{3}{2} \cdot 3x + 9 &= \frac{1}{2} \cdot \overline{AC} \end{align*} \]

Решаем уравнение относительно \(\overline{AC}\):

\[ \overline{AC} = 6x + 18 \]

Теперь у нас есть выражения для \(\overline{BC}\) и \(\overline{AC}\). Также мы знаем, что \(\overline{AC}\) параллельна плоскости \(\alpha\), поэтому \(\overline{AC}\) и \(\overline{BD}\) являются пропорциональными частями отрезка \(\overline{BC}\). Таким образом:

\[ \frac{\overline{BD}}{\overline{BC}} = \frac{\overline{AC}}{\overline{BC}} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{3x}{\frac{5}{3} (3x + 9)} = \frac{6x + 18}{\frac{5}{3} (3x + 9)} \]

Упростим уравнение, умножив обе стороны на \(\frac{5}{3} (3x + 9)\):

\[ 3x = 6x + 18 \]

Решим уравнение относительно \(x\):

\[ 3x -