Question

Даны координаты вершин треугольника ABC. Найдите: а) уравнение стороны AB б) уравнение высоты CH в) уравнение медианы AM Г) точку N пересечения медианы AM и высоты CH Д) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB Е) внутренний угол B, треугольника АBC Ж) расстояние от точки C, до прямой AB Координаты: А) -2; -6 B) -3; 5 C) 4; 0

Answer 1

Даны координаты вершин треугольника ABC: А(-2; -6), B(-3; 5), C(4; 0).

Найти:

а) уравнение стороны AB.

Находим вектор АВ = (-3-(-2); (5-(-6)) = (-1; 11).

Уравнение АВ: (х + 2)/(-1) = (у + 6)/11 каноническое.

11х + 22 = -у - 6,

11х + у + 28 = 0 это общее уравнение АВ.

б) уравнение высоты CH.

У перпендикуляра коэффициенты А и В меняются на В и -А.

Уравнение СН: х - 11у + С = 0.

Для определения слагаемого С подставим координаты точки С.

4 - 11*0 + С = 0, получаем С = -4.

Уравнение СН: х - 11у - 4 = 0.

в) уравнение медианы AM.

Определяем координаты точки М как середины стороны ВС.

М = (B(-3; 5) + C(4; 0))/2 = (0,5; 2,5).

Вектор АМ = (0,5-(-2); 2,5-(-6)) = (2,5; 8,5).

Уравнение АМ: (х + 2)/2,5 = (у + 6)/8,5.

Можно привести к целым коэффициентам:

Уравнение АМ: (х + 2)/5 = (у + 6)/17 или в общем виде

                            17х - 5у + 4 = 0.

Г) точку N пересечения медианы AM и высоты CH.

Решаем систему из двух уравнений этих прямых.

{17х - 5у + 4 = 0            17х - 5у + 4 = 0

{ х - 11у - 4 = 0|x(-17) =  -17x + 187y + 68 = 0

                                           182y + 72 = 0, y = -72/182 = -36/91 ≈ -0.3956.

x = 11y + 4 = 11*(-36/91) + 4 = (-396/91) + 4 = -32/91 ≈ -0,35165.

Точка N((-32/91); (-36/91)).

Д) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB.

У этой прямой направляющий вектор такой же, как и упрямой АВ.

Только подставляем координаты точки С.

Уравнение СС1: (х - 4)/(-1) = у /11.

Е) внутренний угол B, треугольника АBC.

cos B = (a^2+c^2-b^2)/(2ac) = 124/190,0315763 = 0,652523135  

B = arccos 0,65252 = 0,8599 радиан или 49,2679 градуса.

Ж) расстояние от точки C до прямой AB. Это высота СС2.  

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:

d =  |A·Mx + B·My + C|

       √(A² + B²)

Подставим в формулу данные:

d =   |11·4 + 1·0 + 28|

         √(11² + 1²)

 =   |44 + 0 + 28|

          √121 + 1      

=   72

√122

 =   36√122 /61   ≈ 6,5185737.

Answer 2

Для нахождения уравнений стороны AB, высоты CH, медианы AM, точки пересечения N, прямой параллельной AB, внутреннего угла B и расстояния от точки C до прямой AB в треугольнике ABC, мы можем использовать различные методы и формулы.

Уравнение стороны AB:

Для нахождения уравнения стороны AB, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками. Координаты точек A и B даны: A(-2, -6) и B(-3, 5).

Формула расстояния между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2) выглядит следующим образом: d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Подставим координаты точек A и B в формулу: d = √((-3 - (-2))^2 + (5 - (-6))^2)

Вычислим расстояние: d = √(1^2 + 11^2) = √(1 + 121) = √122

Таким образом, уравнение стороны AB будет выглядеть следующим образом: √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √122

Уравнение высоты CH:

Для нахождения уравнения высоты CH, мы можем использовать уравнение прямой, проходящей через вершину C и перпендикулярной стороне AB.

Для начала, найдем угловой коэффициент прямой AB. Угловой коэффициент (m) можно найти по формуле: m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Подставим координаты точек A и B в формулу: m = (5 - (-6)) / (-3 - (-2)) = 11 / (-1) = -11

Так как прямая, проходящая через вершину C и перпендикулярная стороне AB, должна иметь противоположный угловой коэффициент, то угловой коэффициент этой прямой будет: m' = -1 / m = -1 / (-11) = 1 / 11

Теперь, используя уравнение прямой в общем виде (y - y1) = m'(x - x1), и подставив координаты вершины C (4, 0), мы можем найти уравнение высоты CH: (y - 0) = (1 / 11)(x - 4)

Упростим уравнение: y = (1 / 11)x - (4 / 11)

Уравнение медианы AM:

Для нахождения уравнения медианы AM, мы можем использовать координаты вершины B и середины стороны AC.

Сначала найдем координаты середины стороны AC. Формула для нахождения середины двух точек (x1, y1) и (x2, y2) выглядит следующим образом: (x, y) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)

Подставим координаты точек A и C в формулу: (x, y) = ((-2 + 4) / 2, (-6 + 0) / 2) = (1, -3)

Теперь, используя уравнение прямой в общем виде (y - y1) = m(x - x1), и подставив координаты вершины B (-3, 5) и середины стороны AC (1, -3), мы можем найти уравнение медианы AM: (y - 5) = m(x - (-3))

Угловой коэффициент медианы AM будет таким же, как угловой коэффициент стороны AB, поскольку медиана делит сторону пополам: m = -11

Подставим угловой коэффициент и координаты вершины B в уравнение: (y - 5) = -11(x + 3)

Упростим уравнение: y = -11x - 16

Точка N пересечения медианы AM и высоты CH:

Чтобы найти точку пересечения медианы AM и высоты CH, мы можем решить систему уравнений, состоящую из уравнения медианы AM и уравнения высоты CH.

Подставим уравнения медианы AM и высоты CH в систему уравнений: (y - 5) = -11(x + 3) y = (1 / 11)x - (4 / 11)

Решим систему уравнений, чтобы найти координаты точки пересечения N.

Уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB:

Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через вершину C и параллельной стороне AB, мы можем использовать уравнение прямой в общем виде (y - y1) = m(x - x1), где m - угловой коэффициент стороны AB.

Угловой коэффициент стороны AB мы уже нашли ранее: -11.

Подставим угловой коэффициент и координаты вершины C (4, 0) в уравнение: (y - 0) = -11(x - 4)

Упростим уравнение: y = -11x + 44

Внутренний угол B треугольника ABC:

Внутренний угол B треугольника ABC можно найти с помощью тригонометрической функции арктангенса.

Угол B можно найти, используя координаты вершин A, B и C: A(-2, -6) B(-3, 5) C(4, 0)

Расчет угла B будет выглядеть следующим образом: B = arctan((y2 - y1) / (x2 - x1))

Подставим координаты вершин B и A в формулу: B = arctan((5 - (-6)) / (-3 - (-2)))

Вычислим угол B: B = arctan(11 / (-1))

Упростим угол B: B = -arctan(11)

Таким образом, внутренний угол B треугольника ABC равен -arctan(11).

Расстояние от точки C до прямой AB:

Для нахождения расстояния от точки C до прямой AB, мы можем использовать формулу расстояния между точкой и прямой.

Формула для нахождения расстояния между точкой (x0, y0) и прямой Ax + By + C = 0 выглядит следующим образом: d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)

Уравнение прямой AB, проходящей через вершины A(-2, -6) и B(-3, 5), можно записать