Question

Учитывая точки A (2; -1), B (-4; 3), C (5; -1), D (1: a), при каком значении вектора a) AB и CD колинниары? б) При каком значении вектора AB и CD перпендикулярны? Помогите пожалуйста

Answer 1

AB=(-4-2,3-(-1))=(-6,4)

CD=(1-5,a+1)=(-4,a+1)

-6/-4=4/(a+1)

6(a+1)=16

3a+3=8

3a=5

a=5/3

9a=9*(5/3)=15

Answer 2

Для того чтобы векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \) были коллинеарными, их направления должны совпадать, то есть их координатные разности должны быть пропорциональными.

1. Коллинеарность векторов \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \):

Вектор \( \overrightarrow{AB} \) задается координатной разностью \( B - A \): \[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) \] Аналогично, вектор \( \overrightarrow{CD} \) задается координатной разностью \( D - C \): \[ \overrightarrow{CD} = (x_D - x_C, y_D - y_C) \]

Для коллинеарности векторов, их координатные разности должны быть пропорциональными: \[ \frac{x_B - x_A}{x_D - x_C} = \frac{y_B - y_A}{y_D - y_C} \]

Подставим значения точек A, B, C и D: \[ \frac{(-4) - 2}{(1) - 5} = \frac{3 - (-1)}{a - (-1)} \]

Решив это уравнение, вы найдете значение параметра \( a \), при котором векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \) коллинеарны.

2. Перпендикулярность векторов \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \):

Векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \) перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 0 \]

Скалярное произведение векторов выражается как: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (x_B - x_A)(x_D - x_C) + (y_B - y_A)(y_D - y_C) \]

Подставим значения точек A, B, C и D и решим уравнение: \[ (2 - (-4))(1 - x_C) + ((-1) - 3)(a - (-1)) = 0 \]

Решив это уравнение, вы найдете значение параметра \( a \), при котором векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \) перпендикулярны.

Эти выражения и уравнения позволят вам найти значения параметра \( a \), удовлетворяющие условиям коллинеарности и перпендикулярности векторов.