Question

В прямом параллелепипеде стороны основания равны 4см и 5см, а один из углов равен 120°. Высота призмы равна 5√3 см. Выполните рисунок по условию задачи а) Найдите меньшую диагональ параллелепипеда б) Вычислите площадь полной поверхности параллелепипеда

Answer 1

Ответ:

а) $4\sqrt{6}$ см;  б) $110\sqrt{3}$  см ².

Объяснение:

Рассмотрим прямой параллелепипед $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$

AB= 5 см ,   AD=  4 см.

Высота $DD_{1}=5\sqrt{3}$ см.

∠D=120°.

а) Сумма ∠А+∠D=180°, так как это односторонние углы при  AB║CD и секущей AD.

Тогда ∠А=180°-120°=60°.

Найдем BD -меньшую диагональ основания по теореме косинусов:

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Рассмотрим треугольник Δ ABD.

$BD ^{2} =AD^{2} +AB ^{2} -2\cdot AD\cdot A B\cdot cos A;\\BD ^{2} =4^{2} +5^{2} -2\cdot 4 \cdot5\cdot cos60^{0} ;\\BD ^{2} =16+25-2\cdot20\cdot \dfrac{1}{2} =16+25-20=21;\\BD=\sqrt{21} .$

Диагональ $BD{_1}$ параллелепипеда наименьшая, так как она опирается на наименьшую диагональ основания.

Рассмотрим Δ $D{_1}DB$ - прямоугольный.

Найдем гипотенузу $BD{_1}$ по теореме Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

$BD{_1}^{2} =D{_1}D^{2} +BD^{2} ;\\BD{_1}=\sqrt{D{_1}D^{2} +BD^{2}} ;\\BD{_1}=\sqrt{(5\sqrt{3} )^{2} +(\sqrt{21} )^{2} } =\sqrt{75+21} =\sqrt{96} =\sqrt{16\cdot 6} =4\sqrt{6}$

$BD{_1}=4\sqrt{6}$ см.

б) Найдем площадь поверхности параллелепипеда как сумму площади боковой поверхности и удвоенной площади основания.

Найдем площадь основания параллелепипеда по формуле:

$S=a\cdot b \cdot sin\alpha ,$  где α - угол между сторонами.

$S=4\cdot 5 \cdot \sin 60^{0} =20\cdot \dfrac{\sqrt{3} }{2} =10\sqrt{3}$  

Тогда площадь основания параллелепипеда равна $10\sqrt{3}$ см².

Площадь боковой поверхности найдем как произведение периметра основания на высоту.$S=2\cdot(4+5)\cdot 5\sqrt{3} =2\cdot9\cdot 5\sqrt{3} =90\sqrt{3}$  см ².

Тогда площадь полной поверхности будет:

$S= 90\sqrt{3} +2\cdot 10\sqrt{3} =90\sqrt{3} +20\sqrt{3} =110\sqrt{3}$ см².

Answer 2

Давайте разберемся с данным вопросом.

Пусть прямоугольник ABCD является основанием параллелепипеда, где AB = 5 см, BC = 4 см. Также известно, что угол BAC равен 120°. Высота параллелепипеда равна 5√3 см.

Решение:

1. Меньшая диагональ параллелепипеда:

Меньшая диагональ прямоугольника ABCD может быть найдена с использованием тригонометрии. Мы знаем, что угол BAC = 120°, поэтому:

\[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(BAC)} \]

\[ AC = \sqrt{5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos(120°)} \]

\[ AC = \sqrt{25 + 16 + 40} = \sqrt{81} = 9 \text{ см} \]

Теперь, меньшая диагональ параллелепипеда равна 9 см.

2. Площадь полной поверхности параллелепипеда:

Площадь полной поверхности параллелепипеда можно выразить суммой площадей его боковых граней и двух оснований.

а) Боковые грани параллелепипеда - это прямоугольники. Для нахождения площади каждой боковой грани умножим длину на высоту:

\[ S_{\text{бок}} = 2 \cdot (AB + BC) \cdot h \]

\[ S_{\text{бок}} = 2 \cdot (5 + 4) \cdot 5\sqrt{3} \]

\[ S_{\text{бок}} = 2 \cdot 9 \cdot 5\sqrt{3} = 90\sqrt{3} \, \text{см}^2 \]

б) Площадь каждого из оснований равна прямоугольнику:

\[ S_{\text{осн}} = AB \cdot BC \]

\[ S_{\text{осн}} = 5 \cdot 4 = 20 \, \text{см}^2 \]

Теперь сложим площади боковых граней и двух оснований:

\[ S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2 \cdot S_{\text{осн}} \]

\[ S_{\text{полн}} = 90\sqrt{3} + 2 \cdot 20 \]

\[ S_{\text{полн}} = 90\sqrt{3} + 40 \, \text{см}^2 \]

Итак, площадь полной поверхности параллелепипеда равна \(90\sqrt{3} + 40 \, \text{см}^2\).