Question

При каком значении a вектор a{3;-a;1} перпендикулярен вектору b{6;2;0}

Answer 1

Векторы перепендикулярны, когда их скалярное произведение равно нулю. Выразим его через координаты:

$\vec a \cdot \vec b=0\\\vec a \cdot \vec b =\sqrt{(6-3)^2+(2+a)^2+(0-1)^2}=\\\sqrt{9+4+4a+a^2+1}=\sqrt{a^2+4a+14}=0$

Возведём в квадрат:

$a^2+4a+14=0\\D=(-4)^2-4 \cdot 14=16+64=80\\\sqrt{D}=\sqrt{80}=4 \sqrt {20}=8\sqrt{5}\\a=\dfrac{-4+8\sqrt 5}{2}=-2 \pm 4 \sqrt 5.$

Answer 2

Векторы \(a\) и \(b\) перпендикулярны друг другу, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение двух векторов \(u = (u_1, u_2, u_3)\) и \(v = (v_1, v_2, v_3)\) определяется следующим образом:

\[u \cdot v = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3.\]

В данном случае, вектор \(a\) задан как \(a = \{3, -a, 1\}\), а вектор \(b\) задан как \(b = \{6, 2, 0\}\). Пусть \(a\) и \(b\) перпендикулярны друг другу. Тогда их скалярное произведение равно нулю:

\[a \cdot b = 3 \cdot 6 + (-a) \cdot 2 + 1 \cdot 0.\]

Упростим это выражение:

\[18 - 2a = 0.\]

Теперь решим уравнение относительно \(a\):

\[2a = 18.\]

\[a = 9.\]

Таким образом, при \(a = 9\) вектор \(a\) будет перпендикулярен вектору \(b\).