Question

в треугольнике авс точка х лежит на стороне ав а точка у лежит на стороне вс. отрезки ау и сх пересекаются в точке з. известно , ау = су и ав=сз. докажите что точки в х з лежат на одной окружности.

Answer 1

Докажем, что точки B, X, Y, Z лежат на одной окружности.

△AYC - равнобедренный.

Ось симметрии р/б треугольника - серединный перпендикуляр к основанию (m).

Возьмем точку B1 симметричную B относительно m.

∠B=∠B1, AB=CB1 (по построению)

AB=CZ=CB1 => △B1CZ - р/б => ∠B1=∠CZB1

=> ∠CZB1=∠B

Внешний угол четырехугольника BXYZ равен противолежащему внутреннему - четырехугольник вписанный (вершины лежат на одной окружности).

Answer 2

Для доказательства того, что точки В, Х и З лежат на одной окружности, мы можем использовать теорему о пересекающихся хордах.

Теорема о пересекающихся хордах

Если две хорды AB и CD пересекаются в точке E, и отрезки AE и CE равны по длине, то точки B, D и E лежат на одной окружности.

Доказательство

Мы имеем следующую информацию: - Точка Х лежит на стороне АВ треугольника АВС. - Точка У лежит на стороне ВС треугольника АВС. - Отрезки АУ и СХ пересекаются в точке З. - Длина отрезка АУ равна длине отрезка СУ. - Длина отрезка АВ равна длине отрезка СЗ.

Из условия следует, что отрезок АЗ равен отрезку УХ, так как: - АУ = СУ (дано) - АВ = СЗ (дано) - АУ + АЗ = АВ (так как Х лежит на стороне АВ треугольника АВС) - АЗ + УХ = АВ (так как З лежит на отрезке АУ и СХ)

Таким образом, АЗ = УХ.

Следовательно, мы можем сделать вывод, что отрезок АЗ равен отрезку УХ. Следовательно, точки В, Х и З лежат на одной окружности, так как отрезки АУ и СХ пересекаются в точке З, а отрезки АЗ и УХ равны по длине.

Заключение

Таким образом, доказано, что точки В, Х и З лежат на одной окружности.