Question

Скласти рівняння геометричного місця точок, сума квадратів віддалей яких до точок А(2,1) і В(3,0) рівна 50.

Answer 1

Скласти рівняння геометричного місця точок, сума квадратів віддалей яких до точок А(2,1) і В(3,0) рівна 50.

Эту задачу можно решить двумя способами.

Пусть квадрат одного расстояния x², а другого  y², то получаем, что заданное геометрическое место точек - окружность, так как

x² + y² = (√50)² (это не настоящее уравнение, а только логическое рассуждение).

1) Если равны квадраты расстояний от точек А и В, то равны и сами расстояния.

Поэтому с геометрической точки зрения такие 2 такие точки находятся на перпендикуляре к середине отрезка АВ (пусть это точка С).

Расстояние EC и DC как радиусы R равны высоте h равнобедренного треугольника.

Находим положение точки С как середины отрезка АВ.

С = ((3+2)/2; (1+0)/2) = (2,5; 0,5).

Длина АС = ВС = (1/2)√((3-2)² + (0-1)²)  = (1/2)√2 = √2/2.

AD² = BD² = 50/2 = 25,

AD = BD = √25 = 5.

R = h = √(5²-(√2/2)²) = √(25-2/4) = √98/2 = 7√2/2 ≈ 4,9497.

Получаем уравнение окружности с центром в точке С(2,5; 0,5) и радиусом R = 7√2/2:

(x - (5/2))² + (y - (1/2)² = (7√2/2)².

2) Аналитический метод.

Примем координаты точки, находящейся на заданной фигуре, равной M(x; y).

Запишем заданное условие: MA² + MB² = 50.

В координатной форме это будет так:

(x - 2)² + (y - 1)² + (x - 3)² + y² = 50. Раскрываем скобки.

x² - 4x + 4 + y² - 2y + 1 + x² - 6x + 9 + y² = 50. Получаем:

2x² + 2y² - 10x - 2y - 36 = 0.

Разделим на 2 и выделяем полные квадраты.

(x² - 2*(5/2)x + (25/4)) - (25/4) + (y² - 2*(1/2)y + (1/4)) - (1/4) - 18 = 0.

Получаем уравнение окружности.

(x - (5/2))² + (y - (1/2)) = 49/2 = (7/√2)² = (7√2/2)².

.

.

Answer 2

Для складання рівняння геометричного місця точок, сума квадратів віддалей яких до точок А(2,1) і В(3,0) рівна 50, ми можемо скористатися відомим фактом, що геометричне місце точок, що мають фіксовану суму квадратів віддалей до двох фіксованих точок, є еліпсом.

Давайте позначимо координати довільної точки цього геометричного місця точок як (x, y). За визначенням, сума квадратів віддалей цієї точки до точок А(2,1) і В(3,0) дорівнює 50.

Відстань між двома точками можна обчислити за допомогою формули відстані між двома точками в просторі:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Де (x1, y1) - координати першої точки, (x2, y2) - координати другої точки, d - відстань між ними.

Отже, для даного завдання ми маємо:

√((x - 2)^2 + (y - 1)^2) + √((x - 3)^2 + (y - 0)^2) = √50

Це рівняння описує геометричне місце точок, сума квадратів віддалей яких до точок А(2,1) і В(3,0) дорівнює 50. Це є рівняння еліпса.