Question

Доведіть, що сума квадратів двох сторін трикутника дорівнює подвоєній сумі квадратів половини третьої сторони медіани, проведеної до цієї сторони.

Answer 1

Дано: треуг.АВС; АВ=с, ВС=а, АС=в, ОА=l

Довести: $c^{2}$ + $b^{2}$=2( $l^{2}$ + ($(\frac{a}{2})^{2})$

Розвязок: Добудуємо даний трикутник до паралелограма, продовживши медіану АО.  AD=2l.

За властивістю паралелограма: 

2($c^{2}$+$b^{2}$)=$a^{2}$ + ($2l)^{2}$, або $c^{2}$+$b^{2}$=2($l^{2}$+$(\frac{a}{2})^{2})$

Answer 2

Для доведення цієї рівності розглянемо трикутник ABC, де AB і AC є сторонами, а AM є медіаною, де M - середина сторони BC. Ми хочемо довести, що сума квадратів сторін AB і AC дорівнює подвоєній сумі квадратів половини сторони BC, проведеної до цієї сторони.

Крок 1: Знаходження довжини медіани

Спочатку визначимо довжину медіани AM. За відомим твердженням, довжина медіани дорівнює половині довжини сторони, до якої вона проведена. Тому AM = 0.5 * BC.

Крок 2: Знаходження сум квадратів сторін

Далі, обчислимо суму квадратів сторін AB і AC. Позначимо довжини сторін як AB = a і AC = c. Тоді сума квадратів сторін буде a^2 + c^2.

Крок 3: Знаходження суми квадратів половини сторони BC

Тепер обчислимо суму квадратів половини сторони BC. Позначимо половину довжини BC як x. Тоді сума квадратів половини сторони BC буде (0.5 * x)^2 = 0.25 * x^2.

Крок 4: Порівняння обидвіх сторін рівності

За нашим припущенням, ми хочемо довести, що сума квадратів сторін AB і AC дорівнює подвоєній сумі квадратів половини сторони BC, проведеної до цієї сторони. Отже, нам потрібно порівняти значення a^2 + c^2 з 2 * 0.25 * x^2.

Крок 5: Заміна значень

Замінимо значення x знаходжене на кроці 1. Замість x підставимо 2AM, оскільки медіана AM дорівнює половині сторони BC. Отже, x = 2AM = 2 * 0.5 * BC = BC.

Крок 6: Підставлення значень

Підставимо нові значення в рівняння a^2 + c^2 = 2 * 0.25 * x^2:

a^2 + c^2 = 2 * 0.25 * BC^2

a^2 + c^2 = 0.5 * BC^2

Крок 7: Висновок

Таким чином, ми довели, що сума квадратів сторін AB і AC дорівнює 0.5 * BC^2, що є половиною квадрату довжини сторони BC.