Question

В трапеции ABCD (BC∥AD) BC=3 см, AD=10 см, CD=4 см, ∠D=60°. Найдите диагонали трапеции

Answer 1

Ответ:   3√17 см.  √29 см .

Объяснение:

Проведем высоту СН⊥AD. Получили треугольник СВР, у которого

CD=4 см.

∠D=60*. Следовательно ∠DCH = 30*.

Катет DH лежит против угла в 30*

Тогда DH=1/2CD=1/2*4=2 см.

В Δ АСН сторона АН=AD-DH=10-2=8 см.

По т. Пифагора АС²=АН²+СН²= 8²+2²=64+4=68.

Диагональ АС=√68=3√17 см.

Если трапеция равнобокая, то диагонали равны. АС=BD=3√17 см.

----------------

Если не равнобокая, в чем мы сейчас убедимся, то ...

проведем высоту из точки В BF⊥AD. Получим треугольник BDF, так как  FD=2+3=5 см, то AF=10-5=5 см .

BF=CH=2 см. Тогда по т. Пифагора

BD²=BF²+DF² =2²+5²=4+25 = 29.

Диагональ BD=√29 см .

Answer 2

Для начала, обратим внимание на то, что треугольник BCD является равнобедренным, так как BC=CD=3 см.

Так как диагонали трапеции BC и AD являются диагоналями этого треугольника, то каждая из них делит треугольник на два подобных треугольника. Таким образом, можно записать следующие пропорции: BC/CD = AD/BD 3/4 = 10/BD

Домножая обе части пропорции на BD, получаем: 3 * BD = 4 * 10 3BD = 40 BD = 40/3 см

Также, заметим, что AD является высотой треугольника BCD. Можно использовать теорему синусов для нахождения высоты: AD/sin(60°) = BD/sin(∠BDC) 10/sqrt(3) = BD/sin(∠BDC)

Теперь, можем рассмотреть треугольник ADB. Мы знаем два его угла и одну сторону. Можно воспользоваться тригонометрией для нахождения стороны AB: sin(∠BAD) = BD/AB sin(60°) = (40/3)/AB sqrt(3)/2 = (40/3)/AB

AB = (40/3)/sqrt(3)*2 = 40/(3*sqrt(3)/2) = 40/(3*sqrt(3)/2) * (sqrt(3)/sqrt(3)) = 40 * sqrt(3)/3

Таким образом, длина диагонали AB составляет 40 * sqrt(3)/3 см. Диагонали трапеции равны друг другу, поэтому диагонали AD и BC тоже равны 40 * sqrt(3)/3 см.