Question

Даны координаты точек м (-2;2) N(4;-1) K(1;-7) P(-5;4) докажите что MNKP-квадрат

Answer 1

Даны координаты точек М (-2;2) N(4;-1) K(1;-7) P(-5;4) .Докажите что MNKP-квадрат

Объяснение:

Квадрат это прямоугольник  у которого все стороны равны. Значит нужно доказать , что MN=NK=KP=PM. А тк квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника, то диагонали должны быть равны MK=NP.

Считаем по формуле расстояния между точками

d=√( (х₁-х₂)²+(у₁-у₂)²),  где (х₁;у₁),  (х₂;у₂) -координаты концов отрезка.

MN=√((4+2)²+(-1-2)²)=√(36+9)=√45,

NK=√((1-4)²+(-7+1)²)=√(9+36)=√45 ,

KP=√(-5-1)²+(4+7)²)=√(36+121)=√137,

Дальше можно не считать . ЭТО НЕ КВАДРАТ.

Answer 2

Чтобы доказать, что MNPK - квадрат (ромб), нужно показать, что все его стороны равны и углы между смежными сторонами равны.

Для этого вычислим длины сторон MN, NP, PK и KM с использованием координат точек.

1. Длина отрезка MN: \[MN = \sqrt{ (x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2 }\]

В данном случае: \[MN = \sqrt{ (4 - (-2))^2 + ((-1) - 2)^2 } = \sqrt{ 6^2 + (-3)^2 } = \sqrt{ 36 + 9 } = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\]

2. Длина отрезка NP: \[NP = \sqrt{ (x_P - x_N)^2 + (y_P - y_N)^2 }\]

В данном случае: \[NP = \sqrt{ ((-5) - 4)^2 + (4 - (-1))^2 } = \sqrt{ (-9)^2 + 5^2 } = \sqrt{ 81 + 25 } = \sqrt{106}\]

3. Длина отрезка PK: \[PK = \sqrt{ (x_K - x_P)^2 + (y_K - y_P)^2 }\]

В данном случае: \[PK = \sqrt{ (1 - (-5))^2 + ((-7) - 4)^2 } = \sqrt{ 6^2 + (-11)^2 } = \sqrt{ 36 + 121 } = \sqrt{157}\]

4. Длина отрезка KM: \[KM = \sqrt{ (x_M - x_K)^2 + (y_M - y_K)^2 }\]

В данном случае: \[KM = \sqrt{ ((-2) - 1)^2 + (2 - (-7))^2 } = \sqrt{ (-3)^2 + 9^2 } = \sqrt{ 9 + 81 } = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}\]

Теперь проверим, что все стороны равны: \[MN = NP = PK = KM\]

Также, чтобы доказать, что MNPK - квадрат (ромб), проверим, что диагонали MK и NP пересекаются в середине их общего отрезка. Для этого найдем координаты серединных точек диагоналей.

1. Координаты середины диагонали MK: \[x_{MK} = \frac{x_M + x_K}{2}, \quad y_{MK} = \frac{y_M + y_K}{2}\] \[x_{MK} = \frac{(-2) + 1}{2} = -\frac{1}{2}, \quad y_{MK} = \frac{2 + (-7)}{2} = -\frac{5}{2}\]

2. Координаты середины диагонали NP: \[x_{NP} = \frac{x_N + x_P}{2}, \quad y_{NP} = \frac{y_N + y_P}{2}\] \[x_{NP} = \frac{4 + (-5)}{2} = -\frac{1}{2}, \quad y_{NP} = \frac{(-1) + 4}{2} = \frac{3}{2}\]

Координаты середины диагоналей совпадают, что означает, что диагонали пересекаются в середине их общего отрезка.

Таким образом, мы доказали, что MNPK - квадрат (ромб) - все его стороны равны, и диагонали пересекаются в их серединах.