Question

Знайти кут між векторами а(1; 0) і в(2;2).​

Answer 1

Ответ:

45°

Объяснение:

$\cos( \alpha ) = \frac{ab}{ |a| \times |b| }$

$ab = 1 \times 2 + 0 \times 2 = 2 + 0 = 2$

$|a| = \sqrt{ {1}^{2} + {0}^{2} } = \sqrt{1 + 0} = \\ = \sqrt{1} = 1$

$|b| = \sqrt{ {2}^{2} + {2}^{2} } = \sqrt{4 + 4} = \\ = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$

$\cos( \alpha ) = \frac{2}{1 \times 2 \sqrt{2} } = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2}$

$\alpha = 45$

Answer 2

Кут між двома векторами можна знайти за допомогою формули скалярного добутку векторів. Якщо маємо два вектори \( \mathbf{a} = (a_1, a_2) \) і \( \mathbf{b} = (b_1, b_2) \), то кут \( \theta \) між ними можна знайти за формулою:

\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|} \]

де \( \cdot \) - це скалярний добуток, а \( \|\mathbf{a}\| \) і \( \|\mathbf{b}\| \) - норми векторів \( \mathbf{a} \) і \( \mathbf{b} \) відповідно.

В даному випадку, маємо вектори \( \mathbf{a} = (1, 0) \) і \( \mathbf{b} = (2, 2) \). Знаходимо скалярний добуток:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1 \cdot 2) + (0 \cdot 2) = 2 \]

Також знаходимо норми векторів:

\[ \|\mathbf{a}\| = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1 \] \[ \|\mathbf{b}\| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} \]

Тепер підставимо ці значення в формулу для косинуса кута:

\[ \cos(\theta) = \frac{2}{1 \cdot \sqrt{8}} \]

Знаходимо кут \( \theta \):

\[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{8}}\right) \]

Отже, ми знайшли кут між векторами \( \mathbf{a} \) і \( \mathbf{b} \). Вираз \( \theta \) можна обчислити за допомогою калькулятора або математичного програмного забезпечення.