Question

прямоугольник с диоганалью 24 вращают вокруг одной из сторон другая сторона составляет с этой диагональю угол 60. Найдите площадь основания полученного тела вращения, деленную на пи

Answer 1

Объяснение:

При вращении прямоугольника вокруг одной из сторон получается цилиндр

Sосн =пи×R^2

cоs 60 =R/d

R=d×cos60=24×1/2=12

Sосн=пи×12^2=144×пи

Sосн/пи=144×пи/пи=144 (ед^2)

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойство тела вращения вокруг прямоугольника. Пусть у нас есть прямоугольник со сторонами a и b, и мы вращаем его вокруг одной из сторон. Если другая сторона образует с диагональю угол \( \theta \), то объем тела вращения можно найти по формуле:

\[ V = \pi \int_{0}^{h} f^2(y) \,dy, \]

где \( f(y) \) - это расстояние от точки на стороне, вокруг которой вращается прямоугольник, до точки на диагонали, находящейся на расстоянии \( y \) от начала вращения, а \( h \) - высота прямоугольника.

В данном случае \( a \) и \( b \) - стороны прямоугольника, \( d \) - диагональ, \( \theta = 60^\circ \), и длина диагонали \( d \) равна 24.

Мы можем выразить \( f(y) \) через \( y \) и \( \theta \):

\[ f(y) = \frac{y}{\sin(\theta)} \]

Теперь нам нужно выразить \( y \) через \( x \), где \( x \) - расстояние от точки на стороне до точки на диагонали. Используем теорему Пифагора:

\[ x^2 + y^2 = a^2 \]

\[ y = \sqrt{a^2 - x^2} \]

Таким образом, \( f(x) = \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{\sin(\theta)} \).

Теперь мы можем записать формулу для объема:

\[ V = \pi \int_{0}^{h} \left(\frac{\sqrt{a^2 - y^2}}{\sin(\theta)}\right)^2 \,dy \]

\[ V = \pi \int_{0}^{h} \frac{a^2 - y^2}{\sin^2(\theta)} \,dy \]

\[ V = \frac{\pi}{\sin^2(\theta)} \int_{0}^{h} (a^2 - y^2) \,dy \]

Теперь найдем интеграл:

\[ V = \frac{\pi}{\sin^2(\theta)} \left[ a^2y - \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{h} \]

\[ V = \frac{\pi}{\sin^2(\theta)} \left( a^2h - \frac{h^3}{3} \right) \]

Теперь подставим известные значения:

\[ V = \frac{\pi}{\sin^2(60^\circ)} \left( a^2 \cdot 24 - \frac{24^3}{3} \right) \]

\[ V = \frac{\pi}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} \left( a^2 \cdot 24 - \frac{24^3}{3} \right) \]

\[ V = \frac{\pi}{\frac{3}{4}} \left( a^2 \cdot 24 - \frac{24^3}{3} \right) \]

\[ V = \frac{4\pi}{3} \left( a^2 \cdot 24 - \frac{24^3}{3} \right) \]

Так как \( a \) и \( b \) - стороны прямоугольника, и мы не знаем их конкретные значения, мы не можем вычислить точное значение объема. Однако, вы можете использовать эту формулу, зная значения \( a \) и \( b \), чтобы найти объем \( V \). Если вам нужна площадь основания, то это будет равно \( A = ab \). Тогда отношение \( \frac{A}{\pi} \) даст вам необходимое значение.