Question

Из точки C квадрата ABCD проведена прямая CN, перпендикулярная к его плоскости. Докажите, что прямая BD перпендикулярная к плоскости ACN.

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

Так как ABCD квадрат, то его диагонали перпендикулярны  АС⊥ВД

Также CN⊥CBA→BD⊥CN

Так как ВД перпендикулярна к двум прямым на плоскости, которые пересекаются, то ВД перпендикулярна и к самой плоскости АCN

Answer 2

Доказательство:

Для доказательства того, что прямая BD перпендикулярна к плоскости ACN, мы можем воспользоваться свойствами перпендикулярности и плоскостей.

1. Поскольку прямая CN перпендикулярна к плоскости, то она лежит в ее нормали. Это означает, что прямая CN перпендикулярна ко всем прямым, лежащим в плоскости ACN. 2. Так как прямая BD лежит в плоскости ABCD, чтобы доказать, что она перпендикулярна к плоскости ACN, нам нужно показать, что она перпендикулярна ко всем прямым, лежащим в плоскости ACN. 3. Поскольку прямая BD является диагональю квадрата ABCD, она соединяет две противоположные вершины квадрата. 4. Рассмотрим треугольник BCD. В этом треугольнике прямая BD является гипотенузой, а прямая BC и прямая CD являются катетами. 5. Если мы докажем, что прямая BC и прямая CD перпендикулярны к прямой CN, то это автоматически означает, что прямая BD перпендикулярна к плоскости ACN, так как она соединяет две перпендикулярные прямые в треугольнике BCD. 6. Поскольку прямая CN перпендикулярна к плоскости ACN, она перпендикулярна ко всем прямым, лежащим в этой плоскости, включая прямые BC и CD. 7. Следовательно, прямые BC и CD перпендикулярны к прямой CN. 8. Таким образом, прямая BD, соединяющая перпендикулярные прямые BC и CD в треугольнике BCD, также перпендикулярна к плоскости ACN.

Таким образом, мы доказали, что прямая BD перпендикулярна к плоскости ACN.