Question

Докажите: Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшиеся на другой стороне угла.

Answer 1

Ответ:

Пусть A_1, A_2, A_3 — точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла и A_2 лежит между A_1 и A_3. Пусть B_1, B_2, B_3 — соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Докажем, что если A_1 A_2= A_2 A_3, то B_1 B_2= B_2 B_3.

Проведем через точку B_2 прямую EF, параллельную прямой A_1 A_3, По свойству параллелограмма A_1 A_2= F B_2, A_2 A_3=B_2 E. И так как A_1 A_2= A_2 A_3, то F B_2=B_2 E.

Треугольники B_2 B_1 F и B_2B_3E равны по второму признаку. У них B_2F=B_2E по доказанному. Углы при вершине B_2 равны как вертикальные, а углы B_2FB_1 и B_2EB_3 равны как внутренние накрест лежащие при параллельных A_1B_1 и A_3B_3 и секущей EF.

Из равенства треугольников следует равенство сторон: B_1B_2=B_2B_3. Теорема доказана

Answer 2

Для доказательства данного утверждения рассмотрим две параллельные прямые \(a\) и \(b\), пересекающие стороны угла \(AOB\), где \(O\) - вершина угла, \(OA\) и \(OB\) - стороны угла, а \(P\) - точка пересечения прямых \(a\) и \(b\).

[Вставить изображение: угол с параллельными прямыми и точкой пересечения]

Таким образом, у нас есть два треугольника, \(OAP\) и \(OBP\), образованных сторонами угла и прямыми \(a\) и \(b\).

Требуется доказать, что отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшимся на другой стороне угла.

Обозначим длины отрезков следующим образом: - \(OA = a\) - \(OB = b\) - \(OP = x\) - \(AQ = h_1\) - \(BQ = h_2\)

Так как прямые \(a\) и \(b\) параллельны, то углы \(AOQ\) и \(BOQ\) соответственно прямы. Также, углы \(AOQ\) и \(BOP\) вертикальны, так как являются соответствующими углами при пересечении параллельных прямых \(a\) и \(b\).

Из треугольников \(OAP\) и \(OBP\) получаем следующие соотношения:

\[ \frac{h_1}{x} = \frac{OA}{OP} \quad \text{и} \quad \frac{h_2}{x} = \frac{OB}{OP} \]

Следовательно,

\[ h_1 = \frac{a}{x} \quad \text{и} \quad h_2 = \frac{b}{x} \]

Таким образом, отрезки \(h_1\) и \(h_2\) пропорциональны отрезкам \(a\) и \(b\). Это доказывает утверждение о пропорциональности отрезков, образовавшихся на разных сторонах угла при пересечении параллельных прямых.